5. Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 30cm. Dây CD có độ dài 24cm vuông góc với AB tại H (hình 3.8).
a, Tính độ dài đoạn thẳng HA, HB.
b, Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H trên CA và CB. Tính diện tích tứ giác CMHN.
c, Để tam giác CDB đều thì độ dài dây CD là bao nhiêu? Trình bày lời giải của em.
d, Để tam giác CBA có diện tích lớn nhất thì độ dài dây CD là bao nhiêu? Trình bày lời giải của em.
Bài Làm:
a, CD vuông góc với AB tại H => HC = HD = $\frac{CD}{2}$ = 12 cm
OB = OC = OA = $\frac{AB}{2}$ = 15 cm
OH = $\sqrt{OC^{2}-CH^{2}}=\sqrt{15^{2}-12^{2}}=9$ (cm)
HA = OA - OH = 15 - 9 = 6 (cm)
HB = OB + OH = 15 + 9 = 24 (cm)
b, CB = $\sqrt{HC^{2}+HB^{2}}=\sqrt{12^{2}+24^{2}}=12\sqrt{5}$ (cm)
AC = $\sqrt{HC^{2}+HA^{2}}=\sqrt{12^{2}+6^{2}}=6\sqrt{5}$ (cm)
Xét tam giác vuông HCB vuông tại H có HN là đường cao => HN.CB = CH.HB
<=> HN.$12\sqrt{5}$ = 12.24 <=> HN = 4,8$\sqrt{5}$
Xét tam giác CHA vuông tại H có HM là đường cao => HM.AC = AH.HC
<=> HM.$6\sqrt{5}$ = 6.12 <=> HM = 2,4$\sqrt{5}$
Xét tam giác ACB có :
- CO là trung tuyến ứng với cạnh AB
- CO = $\frac{AB}{2}$
=> Tam giác ACB vuông tại C (Tính chất đườn trung tuyến của tam giác vuông)
Xét tứ giác CMHN có ba góc vuông là góc $\widehat{HMC}$; $\widehat{HNC}$ và $\widehat{MCN}$
=> CMHN là hình chữ nhật
SCMHN = HM.HN = 4,8$\sqrt{5}$.2,4$\sqrt{5}$ = 57,6 (cm$^{2}$)
c, BCD là tam tam giác đều => BH là trung tuyến của tam giác BCD ứng với cạnh CD và O là giao của ba đường trung tuyến của tam giác ABC
=> OB = $\frac{2}{3}$.HB
Ta có SBCD = $\frac{1}{2}$.HB.CD = $\frac{1}{2}$.CB.DB.sin$60^{0}$
=> HB = CD.sin$60^{0}$
=> OB = $\frac{2}{3}$.CD.sin$60^{0}$
=> CD = $\frac{3OB}{2.sin60^{0}}$ = $\frac{3.15}{2.\frac{\sqrt{3}}{2}}$ = $15\sqrt{3}\approx 26$ (cm)
d, SCAB = $\frac{1}{2}$.CH.AB
AB là cố định để SCAB là lớn nhất thì CH là lớn nhất
CH lớn nhất khi CH = R hay CD = 2R
Vậy để SCAB là lớn nhất thì CD = 2R = 30 (cm)
