Câu 3: Trang 83 sách VNEN 8 tập 2
Cho tam giác cân ABC (AB = AC), vẽ các đường cao BH, CK (h,60). Chứng minh:
a) Tìm các cặp tam giác đồng dạng có trong hình và giải thích.
b) Cho biết BC = a, AB = AC = b. Tính độ dài đoạn thẳng HK.
Hướng dẫn câu b):
- Vẽ thêm đường cao AI, xét hai tam giác đồng dạng IAC và HBC rồi tính CH.
- Tiếp theo, xét hai tam giác đồng dạng AKH và ABC rồi tính HK.
Bài Làm:
a) * $\Delta $ KCB và $\Delta $ HBC có $\widehat{ABC}$ = $\widehat{ACB}$ (do tam giác ABC cân), $\widehat{BKC}$ = $\widehat{BHC}$, BC chung nên $\Delta $ KCB = $\Delta $ HBC
$\Rightarrow $ BK = HC $\Rightarrow $ AK = AH
* $\Delta $ AKH và $\Delta $ ABC có góc A chung, $\frac{AK}{AB}$ = $\frac{AH}{AC}$ nên $\Delta $ AKH $\sim $ $\Delta $ ABC
* Gọi giao điểm của BH và CK là O
Vì $\frac{AK}{AB}$ = $\frac{AH}{AC}$ nên KH // BC
$\Delta $ OKH và $\Delta $ OCB có $\widehat{OKH}$ = $\widehat{OCB}$, $\widehat{OHK}$ = $\widehat{OBC}$ (so le trong) nên $\Delta $ OKH $\sim $ $\Delta $ OCB.
b) Vẽ đường cao AI
$\Delta $ IAC và $\Delta $ HBC có góc C chung, $\widehat{AIC}$ = $\widehat{BHC}$ nên $\Delta $ IAC $\sim $ $\Delta $ HBC
$\Rightarrow $ $\frac{HC}{IC}$ = $\frac{BC}{AC}$ $\Leftrightarrow $ $\frac{HC}{\frac{a}{2}}$ = $\frac{a}{b}$ $\Leftrightarrow $ HC = $\frac{a^{2}}{2b}$ $\Rightarrow $ AH = AC - HC = b - $\frac{a^{2}}{2b}$ = $\frac{2b^{2}- a^{2}}{2b}$.
Theo câu a) $\Delta $ AKH $\sim $ $\Delta $ ABC nên
$\frac{HK}{BC}$ = $\frac{AH}{AC}$ $\Rightarrow $ HK = $\frac{AH.BC}{AC}$ = $\frac{\frac{2b^{2}- a^{2}}{2b}.a}{b}$ = $\frac{(2b^{2}- a^{2}).a}{2b^{2}}$ = a - $\frac{a^{3}}{2b^{2}}$