D.E. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG và TÌM TÒI, MỞ RỘNG
Câu 1: Trang 84 sách VNEN 8 tập 2
Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD, CE cắt nhau tại H.
a) Chứng minh rằng AD.AC = AE.AB và $\widehat{ABC}$ = $\widehat{ADE}$.
b) Chứng minh rằng $\Delta $ HED và $\Delta $ HBC đồng dạng.
c) Chứng minh rằng BE.BA + CD.CA = $BC^{2}$.
d) Nếu $\Delta $ ABC đều hãy tính tỉ số diện tích $\Delta $ HED và diện tích $\Delta $ ABC.
Bài Làm:
a) * $\Delta $ ADB và $\Delta $ AEC có góc A chung, $\widehat{ADB}$ = $\widehat{AEC}$ nên $\Delta $ ADB $\sim $ $\Delta $ AEC
$\Rightarrow $ $\frac{AD}{AE}$ = $\frac{AB}{AC}$ $\Leftrightarrow $ AD.AC = AE.AB.
* $\Delta $ ADE và $\Delta $ ABC có góc A chung, $\frac{AD}{AE}$ = $\frac{AB}{AC}$ nên $\Delta $ ADE $\sim $ $\Delta $ ABC.
$\Rightarrow $ $\widehat{ABC}$ = $\widehat{ADE}$.
b)
Ta có: $\widehat{HDE}$ + $\widehat{ADE}$ = $90^{\circ}$
$\widehat{HCB}$ + $\widehat{ABC}$ = $90^{\circ}$
Mặt khác $\widehat{ADE}$ = $\widehat{ABC}$ (theo câu a) $\Rightarrow $ $\widehat{HDE}$ = $\widehat{HCB}$ (1)
Tương tự ta được $\widehat{HED}$ = $\widehat{HBC}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\Delta $ HED $\sim $ $\Delta $ HBC
c) Dựng HK vuông góc với BC
Ta có: $\Delta $ BKH $\sim $ $\Delta $ BDC nên $\frac{BK}{BD}$ = $\frac{BH}{BC}$ $\Leftrightarrow $ BK.BC = BH.BD
$\Delta $ CKH $\sim $ $\Delta $ CEB nên $\frac{CK}{CE}$ = $\frac{CH}{BC}$ $\Leftrightarrow $ CK.BC = CH.CE
$\Rightarrow $ BK.BC + CK.BC = BH.BD + CH.CE $\Leftrightarrow $ BC.(BK + CK) = BH.BD + CH.CE $\Leftrightarrow $ $BC^{2}$ = BH.BD + CH.CE
Ta có: $\Delta $ BEH $\sim $ $\Delta $ BDA nên: $\frac{BE}{BD}$ = $\frac{BH}{BA}$ $\Leftrightarrow $ BH.BD = BE.BA
Tương tự ta được CH.CE = CD.CA
Suy ra $BC^{2}$ = BE.BA + CD.CA.
d)
