Câu 2: Trang 133 sách toán VNEN lớp 7 tập 1
Cho $\widehat{xOy} = 120^{\circ}$, điểm A thuộc tia phân giác của góc đó. Kẻ AB vuông góc với Ox (B thuộc Ox) , kẻ AC vuông góc với Oy (C thuộc Oy). Chứng minh rằng:
a) $\bigtriangleup OAB = \bigtriangleup OAC$;
b) $\bigtriangleup BAC$ đều;
c) OA $\perp $ BC.
Bài Làm:
a) Xét hai tam giác vuông: $\bigtriangleup OAB$ và $\bigtriangleup OAC$ có:
$\widehat{O_{1}} = \widehat{O_{2}}$ (OA là tia phân giác);
OA chung;
$\Rightarrow $ $\bigtriangleup OAB = \bigtriangleup OAC$ (c.g.c)
b) Theo câu a) AB = AC và $\widehat{A_{1}} = \widehat{A_{2}}$ (hai cạnh và hai góc tương ứng).
$\Rightarrow $ $\bigtriangleup ABC$ là tam giác cân tại A. (1)
OA là tia phân giác của $\widehat{xOy}$ mà $\widehat{xOy} = 120^{\circ}$ nên $\widehat{O_{1}} = \widehat{O_{2}} = 60^{\circ}$.
Xét tam giác OAB có $\widehat{A_{2}} + \widehat{ABO} + \widehat{O_{2}} = 180^{\circ}$.
$\Rightarrow $ $\widehat{A_{2}} = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 90^{\circ} = 30^{\circ}$
$\Rightarrow $ $\widehat{A_{1}} = \widehat{A_{2}} = 30^{\circ}$ $\Rightarrow $ $\widehat{BAC} = \widehat{A_{1}} + \widehat{A_{2}} = 60^{\circ}$. (2)
Từ (1) và (2): Tam giác ABC cân có một góc bằng $60^{\circ}$ nên là tam giác đều.
c) Gọi H là giao điểm của OA và BC.
Xét $\bigtriangleup AHB$ và $\bigtriangleup AHC$
AB = AC (hai cạnh tương ứng);
$\widehat{A_{1}} = \widehat{A_{2}} $ (cmt);
AH chung;
Do đó $\bigtriangleup AHB = \bigtriangleup AC$ (c.g.c).
$\Rightarrow $ $\widehat{AHB} = \widehat{AHC}$.
Mà hai góc AHB và AHC là hai góc kề bù nên: $\widehat{AHB} + \widehat{AHC} = 180^{\circ}$.
Suy ra: $\widehat{AHB} = \widehat{AHC} = 180 : 2 = 90^{\circ}$.
Suy ra: AH $\perp $ BC (đpcm) hay OA $\perp $ BC (đpcm).