Câu 2: Trang 119 - SGK Hình học 11
Cho tứ diện \(S.ABC\) có \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\). Gọi \(H, K\) lần lượt là trực tâm của tam giác \(ABC\) và \(SBC\).
a) Chứng minh ba đường thẳng \(AH, SK, BC\) đồng quy.
b) Chứng minh rằng \(SC\) vuông góc với mặt phẳng \((BHK)\) và \(HK\) vuông góc với mặt phẳng \((SBC)\).
c) Xác định đường vuông góc chung của \(BC\) và \(SA\).
Bài Làm:
a) Chứng minh $AH, SK, BC$ đồng qui
Trong \((ABC)\), gọi \(E = AH ∩ BC\).
\(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\) nên \(AE\bot BC\) (1)
\(SA\bot (ABC)\Rightarrow SA\bot BC\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(BC ⊥ (SAE)\)\(\Rightarrow BC ⊥ SE\).
Vì \(K\) là trực tâm của tam giác \(SBC(gt)\Rightarrow SE \) đi qua \(K\) \(\Rightarrow AH, BC, SK\) đồng quy tại \(E\).
b) Chứng minh $SC\perp (BHK), HK \perp (SBC)$
- Vì H là trực tâm tam giác ABC nên $BH\perp AC$. (3)
Mà $AC$ là hình chiếu vuông góc của $SA$ lên $(ABC)$ (do $SA\perp (ABC)-gt$)
=> $BH\perp SC$ (định lý ba đường vuông góc) (4)
Từ (3)(4) suy ra: $SC \perp (BHK)$.
- Ta có: $SC \perp (BHK),SC\subset (SBC)$=>$(BHK)\perp (SBC)$ (5)
Vì: $BC\perp (SAE) - cmt,BC\subset (SBC)=>(SAE)\perp (SBC)$ (6)
Từ (5) (6) và $(SAE)\cap (BHK)=HK$ => $HK\perp (SBC)$
c) Xác định đường vuông góc chung của $BC,SA$
Ta có: \(AE\bot BC\) (tính chất trực tâm H của tam giác ABC)
mặt khác: $SA \perp (ABC)\Rightarrow SA\perp AE$
\(\Rightarrow AE\) là đường vuông góc chung của \(BC\) và \(SA\).