Bài tập 1.17 trang 17 SBT toán 11 tập 1 kết nối: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) y = 2 + 3|cosx|;
b) $y=2\sqrt{sinx}+1$;
c) $y = 3 cos^{2} x + 4 cos2x$;
d) y = sin x + cos x.
Bài Làm:
a) Vì $0 \leq |cos x| \leq 1$ nên $0 \leq 3|cos x| \leq 3$, do đó $2 \leq 2 + 3|cos x| \leq 5$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 5, đạt được khi $|cosx| = 1\Leftrightarrow sinx= 0\Leftrightarrow x = k\pi ( k \in \mathbb{Z})$
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2, đạt được khi $cosx = 0\Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2}+k\pi (k \in \mathbb{Z})$
b) Điều kiện $sinx \ geq 0$. Vì $0 \leq \sqrt{sinx} \leq 1$ nên $0 \leq 2\sqrt{sinx} \leq 2$
Do đó $1 \leq 1+2\sqrt{sinx} \leq 3$ với mọi x thoả mãn $0 \leq sinx \leq 1$
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 3, đạt được khi sin x = 1 hay $x=\frac{\pi}{2}+k2\pi (k \in \mathbb{Z})$
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1, đạt được khi sin x = 0 hay $x=k\pi (k \in \mathbb{Z})$
c) Ta có $y=3cos^{2}x+4cos2x=3.\frac{1+cos2x}{2}+4cos2x=\frac{3}{2}+\frac{11}{2}cos2x$
Vì $-1\leq cos 2x \leq 1$ nên $-\frac{11}{2} \leq \frac{11}{2}cos2x \leq \frac{11}{2}$
Do đó $-4=\frac{3}{2}-\frac{11}{2} \leq \frac{3}{2}+\frac{11}{2}cos2x \leq \frac{3}{2}+\frac{11}{2}=7$ với mọi $x \in \mathbb{R}$
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 7, đạt được khi $cox2x = 1\Leftrightarrow 2x= k2\pi \Leftrightarrow x= k\pi (k \in \mathbb{Z})$
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là – 4, đạt được khi $cox2x = -1\Leftrightarrow 2x=\pi+ k2\pi \Leftrightarrow x= \frac{\pi}{2}+k\pi (k \in \mathbb{Z})$
d) Ta có $y=sinx+cosx = \sqrt{2}sin(x+\frac{\pi}{4})$
Vì $-1\leq sin(x+\frac{\pi}{4}) \leq 1$ nên $-\sqrt{2} \leq \sqrt{2}sin(x+\frac{\pi}{4}) \leq \sqrt{2}$với mọi $x\in \mathbb{R}$
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là $\sqrt{2}$, đạt được khi $sin(x+\frac{\pi}{4})=1\Leftrightarrow x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4}+k2\pi (k \in \mathbb{Z})$
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $-\sqrt{2}$ , đạt được khi $sin(x+\frac{\pi}{4})=-1\Leftrightarrow x+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{2}+k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{-3\pi}{4}+k2\pi (k \in \mathbb{Z})$
