Bài tập 10 trang 121 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q sao cho AM = BN = CP = DQ < AB. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình vuông.
Bài Làm:
AB = BC, mà AM = BN => AB - AM = BC - BN hay MB = NC. Vậy 2 tam giác vuông MBN = PCN (2 cạnh góc vuông) => MN = NP (1)
BC = DC, mà BN = PC => BC - BN = DC - PC hay NC = DP. Vậy 2 tam giác vuông NCP = PDQ (2 cạnh góc vuông) => NP = PQ (2)
DC = AD, mà PC = QD => DC - PC = AD - QD hay DP = AQ. Vậy 2 tam giác vuông QDP = MAQ (2 cạnh góc vuông) => PQ = MQ (3)
Từ (1), (2), (3) => MNPQ có 4 cạnh bằng nhau nên là hình thoi. (*)
Từ (1) 2 tam giác vuông MBN = PCN => $\widehat{BMN}=\widehat{CNP}$ mà $\widehat{BMN}+\widehat{BNM} = 90^{\circ}$ => $\widehat{CNP}+\widehat{BNM} = 90^{\circ}$ => $\widehat{MNP}= 90^{\circ}$ (**)
Từ (*) và (**) => Hình thoi MNPQ có 1 góc vuông nên là hình vuông.(đpcm)
