Lý thuyết trọng tâm toán 8 cánh diều bài 3: Hằng đẳng thức đáng nhớ

I. HẰNG ĐẲNG THỨC

HĐ1:

a) Thay x = 1; y = −1 vào biểu thức P và Q, ta được:

• P = 2 . [1 + (−1)] = 2 . 0 = 0;
• Q = 2 . 1 + 2 . (−1) = 2 – 2 = 0.

Vậy tại x = 1; y = −1 thì P = Q.

b) Thay x = 2; y = −3 vào biểu thức P và Q, ta được:

• P = 2 . [2 + (−3)] = 2 . (−1) = −2;
• Q = 2 . 2 + 2 . (−3) = 4 – 6 = −2.

Vậy tại x = 2; y = −3 thì P = Q.

Nhận xét: Trong mỗi trường hợp trên, giá trị của biểu thức P luôn bằng giá trị của biểu thức Q.

Kết luận: Nếu hai biểu thức P và Q nhận giá trị như nhau và mọi giá trị của biến thì ta nói P = Q là một đồng nhất thức hay hằng đẳng thức.

Ví dụ 1: (SGK – tr18)

Luyện tập 1:

Ta có:

 x(xy² + y) – y(x²y + x)

= x . xy² + x . y – y . x²y – y . x

= x²y² + xy – x²y² – xy

= (x²y² – x²y²) + (xy – xy)

= 0 + 0 = 0 (đpcm)

II. HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ

1. Bình phương của một tổng, hiệu

HĐ2:

a)

C1: S_MNPQ = (a + b)(a + b) = (a+b)²

C2: S_MNPQ = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²

b) (a + b)(a + b) = a . a + a . b + b . a + b . b = a² + 2ab + b²;

c) (a – b)(a – b) = a . a – a . b – b . a + b . b = a² – 2ab + b².

Kết luận: Với hai biểu thức tuỳ ý A và B, ta có:

(A+B)² =  A² + 2AB + B²

(A – B)² = A² – 2AB + B²

Ví dụ 2: (SGK – tr19)

Luyện tập 2.

a) $\left ( x+\frac{1}{2} \right )^{2}=x^{2}+2.x.\frac{1}{2}+\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}$ = $x^{2}+x+\frac{1}{4}$

b) (2x + y)² 

= (2x)² + 2 . 2x . y + y² 

= 4x² + 4xy + y²;

c) (3 – x)² 

= 3² – 2 . 3 . x + x²

= 9 – 6x + x²;

d) (x – 4y)² 

= x² – 2 . x . 4y + (4y)² 

= x² – 8xy + 16y².

Ví dụ 3: (SGK – tr19)

Luyện tập 3.

a) y² + y + $\frac{1}{4}$

= y² + 2.y + ($\frac{1}{2}$)²

= (y + )²

b) y² + 49 – 14y

= y² – 2 . 7 . y + 7² 

= (y – 7)².

Ví dụ 4: (SGK – tr19)

Luyện tập 4

$49^{2}=(50-1)^{2}=50^{2}-2.50.1+1^{2}$

= 2500 - 100 + 1 = 2401

2. Hiệu của hai bình phương

HĐ3.

Ta có: (a – b)(a + b)

= a . a + a . b – b . a + b . b

= a² – b².

Nhận xét: (a – b)(a + b)  = a² – b²

Kết luận: Với hai biểu thức tuỳ ý A và B, ta có: A² – B² = (A + B). (A - B)

Ví dụ 5 (SGK-tr20)

Luyện tập 5.

a) 9x² – 16 = (3x)² – 4² = (3x + 4)(3x – 4);

b) 25 – 16y² = 5² – (4y)² = (5 + 4y)(5 – 4y).

Ví dụ 6 (SGK-tr20)

Luyện tập 6

a) (a – 3b)(a + 3b) = a² – (3b)² = a² – 9b²;

b) (2x + 5)(2x – 5) = (2x)² – 5² = 4x² – 25;

c) (4y – 1)(4y + 1) = (4y)² – 1 = 16y² – 1.

Ví dụ 7. (SGK-tr20)

Luyện tập 7

Ta có: 48 . 52

= (50 – 2)(50 + 2)

= 50² – 2² = 2500 – 4

= 2496.

3. Lập phương của một tổng, một hiệu

HĐ4.

a) (a + b)(a + b)²

= (a + b)(a² + 2ab + b²)

= a(a² + 2ab + b²) + b(a² + 2ab + b²)

= a.a² + a.2ab + a.b² + b.a² + b.2ab + b.b²

= a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³

= a³ + (2a²b + a²b) + (ab² + 2ab²) + b³

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

b) (a – b)(a² – 2ab + b²)

= a(a² – 2ab + b²) – b(a² – 2ab + b²)

= a.a² – a.2ab + a.b² – b.a² + b.2ab – b.b²

= a³ – 2a²b + ab² – a²b + 2ab² – b³

= a³ – (2a²b + a²b) + (ab² + 2ab²) – b³

= a³ – 3a²b + 3ab² – b³.

Nhận xét:

Ta có:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

Kết luận: Với hai biểu thức tuỳ ý A và B, ta có:

• $(A+B)^{2}=A^{3}+3A^{2}B+3AB^{2}+B^{3}$
• $(A-B)^{2}=A^{3}-3A^{2}B+3AB^{2}-B^{3}$

Ví dụ 8: SGK – tr21

Luyện tập 8.

a) (3 + x)²

= 3³ + 3 . 3² . x + 3 . 3 . x² + x³ 

= 27 + 27x + 9x² + x³;

b) (a + 2b)³ 

= a³ + 3 . a² . 2b + 3 . a . (2b)² + (2b)³

= a³ + 6a²b + 12ab² + 8b³;

c) (2x – y)³ 

= $(2x)^{3}-3.(2x)^{2}.y+3.2x.y^{2}-y^{3}$

= $8^{3}-12x^{2}y+6xy^{2}-y^{3}$

Ví dụ 9: SGK – tr21

Luyện tập 9.

Ta có:

8x³ – 36x²y + 54xy² – 27y³

= (2x)³ – 3 . (2x)² . 3y + 3 . 2x . (3y)² – (3y)³

= (2x – 3y)³.

Ví dụ 10: SGK – tr21

Luyện tập 10.

Ta có:

 101³ – 3 . 101² + 3 . 101 – 1

= 101³ – 3 . 101² . 1 + 3 . 101 . 1² – 1³

= (101 – 1)³ = 100³ = 1 000 000.

4. Tổng và hiệu của hai lập phương

HĐ5:

a) (a + b)(a² – ab + b²)

= a . a² – a . ab + a . b² + b . a² – b . ab + b . b²

= a³ – a²b + ab² + a²b – ab² + b³ 

= a³ + b³.

b) (a – b)(a² + ab + b²)

= a . a² + a . ab + a . b² – b . a² – b . ab – b . b²

= a³ + a²b + a²b – a²b – a²b – b³ 

= a³ – b³.

Nhận xét:

a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

Kết luận: Với hai biểu thức tuỳ ý A và B, ta có:

A³ + B³ = (A + B). (A² – AB + B²)

A³ - B³ = (A - B). (A² + AB + B²)

Ví dụ 11. (SGK-tr22)

Luyện tập 11.

a) 27x³ + 1

= (3x)³ + 1³ 

= (3x + 1)[(3x)² – 3x . 1 + 1²]

b) 64 – 8y³ 

= 4³ – (2y)³ 

= (4 + 2y)(4 – 2y).