Lý thuyết trọng tâm toán 8 cánh diều bài 4: Vận dụng hằng đẳng thức vào phân tích đa thức thành nhân tử

I. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

HĐ1:

Đa thức 3x² – 5x thành tích của hai đa thức bậc nhất như sau:

3x² – 5x = x(3x – 5)

Kết luận: Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

Ví dụ 1: (SGK – tr24)

II. VẬN DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC VÀO PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

1. Phương pháp vận dụng trực tiếp hằng đẳng thức

HĐ2.

a) x² – y² = (x + y)(x – y);

b) x³ – y³ = (x – y)(x² + xy + y²);

c) x³ + y³ = (x + y)(x² – xy + y²).

Nhận xét: Cách làm như ví dụ trên được gọi là phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách vận dụng trực tiếp hằng đẳng thức.

Ví dụ 2. (SGK-tr25)

Luyện tập 1.

a) (x + 2y)² – (2x – y)² 

= [(x + 2y) + (2x – y)] [(x + 2y) – (2x – y)]

= (x + 2y + 2x – y)(x + 2y – 2x + y)

= (3x + y)(3y – x);

b) 125 + y³ 

= 5³ + y³ 

= (5 + y)(25 – 5y + y²);

c) $27x^{3}-8y^{3}$

$=(3x)^{3}-(2y)^{3}$

$=(3x-2y)[(3x)^{2}+3x.2y+(2y)^{2}]$

$=(3x-2y)(9x^{2}+6x2y+4y^{2})$

2. Phương pháp nhóm số hạng và đặt nhân tử chung

HĐ3.

a) Nhóm ba số hạng đầu và sử dụng hằng đẳng thức để viết nhóm đó thành tích, ta được:

x² – 2xy + y² + x – y

= (x² – 2xy + y²) + (x – y)

(nhóm ba số hạng đầu, hai số hạng cuối thành nhóm)

= (x – y)² + (x – y)

(dùng hằng đẳng thức để viết nhóm thứ nhất thành tích)

= (x – y)(x – y + 1)

(đặt nhân tử chung ở hai nhóm ra ngoài để viết thành tích)

b) Đa thức trên được phân tích thành nhân tử như sau:

x² – 2xy + y² + x – y = (x – y)(x – y + 1).

Nhận xét: Cách làm như trên được gọi là phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách vận dụng hằng đẳng thức thông qua nhóm số hạng và đặt nhân tử chung.

Ví dụ 3: SGK – tr26

Luyện tập 2:

a) 3x² – 6xy + 3y² – 5x + 5y

= 3(x² – 2xy + y²) – (5x – 5y)

= 3(x – y)² – 5(x – y)

 = (x – y)[3(x – y) – 5]

= (x – y)(3x – 3y – 5)

b) 2x²y + 4xy² + 2y³ – 8y

= 2y(x² + 2xy + y² – 4)

= 2y[(x + y)² – 2²]

= 2y(x + y + 2)(x + y – 2).