Giải bài 1 Mệnh đề

KHỞI ĐỘNG

Hãy theo dõi tình huống sau đây:

Bạn có thể phát biểu định lí theo cách khác?

Hướng dẫn giải:

Tam giác ABC cân khi và chỉ khi tam giác ABC có hai góc ở đáy bằng nhau.

Để tam giác ABC cân, điều kiện cần và đủ là hai góc ở đáy bằng nhau...

1. MỆNH ĐỀ

Khám phá 1: Xét các câu sau đây:

1. 1 + 1 = 2
2. Dân ca Quan họ là di sản văn hóa phi vật thể đại diện của nhân loại.
3. Dơi là một loài chim.
4. Nấm có phải là một loài thực vật không?
5. Hoa hồng đẹp nhất trong các loài hoa.
6. Trời ơi, nóng quá!

Trong những câu trên, 

a. Câu nào là khẳng định đúng, câu nào là khẳng định sai?

b. Câu nào không phải là khẳng định?

c. Câu nào là khẳng định, nhưng không thể xác định nó đúng hay sai?

Hướng dẫn giải:

a.

• Khẳng định đúng: 1, 2
• Khẳng định sai: 3

b. Câu không phải là khẳng định là: 4, 6

c. Câu là khẳng định, nhưng không thể xác định nó đúng hay sai là: 5

Thực hành 1: Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề?

a. $\sqrt{2}$ là số vô tỉ;

b. $\frac{1}{\sqrt{2}}$ + $\frac{1}{\sqrt{3}}$ + ... + $\frac{1}{\sqrt{10}}$ > 2;

c. 100 tỉ là số rất lớn;

d. Trời hôm nay đẹp quá!

Hướng dẫn giải:

Câu là mệnh đề là a và b

Thực hành 2: Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a. Vịnh Hạ Long là di sản thiên nhiên thế giới;

b. $\sqrt{(-5)^{2})}$ = -5;

c. $5^{2}$ + $12^{2}$ = $13^{2}$ 

Hướng dẫn giải:

a. Đúng

b. Sai

c. Đúng

2. MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN

Khám phá 2: Xét câu "n chia hết cho 5" (n là số tự nhiên).

a. Có thể khẳng định câu trên là đúng hay sai không?

b. Tìm hai giá trị của n sao cho câu trên là khẳng định đúng, hai giá trị của n sao cho câu trên là khẳng định sai.

Hướng dẫn giải:

a. Không thể khẳng định câu trên là đúng hay sai, vì chưa biết giá trị của n.

b. Ví dụ: Với n bằng 10, 15 thì câu trên là khẳng định đúng. Với n nhận giá trị 9, 16 thì câu trên là khẳng định sai.

Thực hành 3: Với mỗi mệnh đề chứa biến sau, tìm những giá trị của biến để nhận được một mệnh đề đúng và một mệnh đề sai.

a. P(x): "$x^{2} = 2$";

b. Q(x): "$x^{2}$ + 1 > 0"

c. R(n): "n + 2 chia hết cho 3" (n là số tự nhiên).

Hướng dẫn giải:

a.

• Mệnh đề đúng khi x = $\pm \sqrt{2}$
• Mệnh đề sai khi x $\neq \pm \sqrt{2}$

b. Mệnh đề luôn đúng với mọi giá trị của x.

c.

• Với n = 1, 4, 7, 10... thì mệnh đề đúng
• Với n = 0, 2, 3, 5, 6, 8... thì mệnh đề sai.

3. MỆNH ĐỀ PHỦ ĐỊNH

Khám phá 3: Xét các cặp mệnh đề nằm cùng dòng của bảng (có hai cột P và $\bar{P}$) sau đây:

Nêu nhận xét về tính đúng sai của hai mệnh đề cùng cặp.

Hướng dẫn giải:

• "Dơi là một loài chim" là mệnh đề sai. "Dơi không phải là một loài chim" là mệnh đề đúng.
• "$\pi$ không phải là một số hữu tỉ" là mệnh đề đúng. "$\pi$ là một số hữu tỉ" là mệnh đề sai."
• " $\sqrt{2}$ + $\sqrt{3}$ > $\sqrt{5}$" là mệnh đề đúng. "$\sqrt{2}$ + $\sqrt{3}$ $\leq$ $\sqrt{5}$" là mệnh đề sai.
• "$\sqrt{2}$.$\sqrt{18}$ = 6" là mệnh đề đúng. "$\sqrt{2}$.$\sqrt{18}$ $\neq$ 6" là mệnh đề sai. 

Thực hành 4: Phát biểu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau. Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề và mệnh đề phủ định của nó.

a. Paris là thủ đô của nước Anh;

b. 23 là số nguyên tố;

c. 2021 chia hết cho 3;

d. Phương trình $x^{2} - 3x + 4 = 0$ vô nghiệm.

Hướng dẫn giải:

a. Mệnh đề sai.

Mệnh đề phủ định là: "Paris không phải là thủ đô của nước Anh" - mệnh đề đúng.

b. Mệnh đề đúng.

Mệnh đề phủ định là: "23 không là số nguyên tố" - mệnh đề sai.

c. Mệnh đề đúng.

Mệnh đề phủ định là: "2021 không chia hết cho 3" - mệnh đề sai.

d. Mệnh đề đúng.

Mệnh đề phủ định là: "$x^{2} - 3x + 4 = 0$ không vô nghiệm" - mệnh đề sai.

4. MỆNH ĐỀ KÉO THEO

Khám phá 4: Xét hai mệnh đề sau:

1. Nếu tam giác ABC là tam giác đều thì nó là tam giác cân;

2. Nếu 2a - 4 > 0 thì a > 2.

a. Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề trên.

b. Mỗi mệnh đề trên đều có dạng "Nếu P thì Q". Chỉ ra P và Q ứng với mỗi mệnh đề đó. 

Hướng dẫn giải:

a. Hai mệnh đề đều đúng.

b.

• P là "ABC là tam giác đều" và "2a - 4 > 0".
• Q là "nó là tam giác cân" và "a > 2".

Thực hành 5: Xét hai mệnh đề:

P: "Hai tam giác ABC và A'B'C' bằng nhau";

Q: "Hai tam giác ABC và A'B'C' có diện tích bằng nhau".

a. Phát biểu mệnh đề P => Q.

b. Mệnh đề P => Q có phải là một định lí hay không? Nếu có, sử dụng thuật ngữ "điều kiện cần", "điều kiện đủ" để phát biểu định lí này theo hai cách khác nhau.

Hướng dẫn giải:

a. Nếu hai tam giác ABC và A'B'C' bằng nhau thì hai tam giác ABC và A'B'C' có diện tích bằng nhau.

b. Mệnh đề trên có là một định lí.

• Cách 1: Hai tam giác ABC và A'B'C' bằng nhau là điều kiện đủ để  hai tam giác ABC và A'B'C' có diện tích bằng nhau.
• Cách 2:  Hai tam giác ABC và A'B'C' có diện tích bằng nhau là điều kiện cần để hai tam giác ABC và A'B'C' bằng nhau.

5. MỆNH ĐỀ ĐẢO. HAI MỆNH ĐỀ TƯƠNG ĐƯƠNG

Khám phá 5: Xét hai mệnh đề dạng P => Q sau:

"Nếu ABC là tam giác đều thì nó có hai góc bằng $60^{\circ}$";

"Nếu a = 2 thì $a^{2}$ - 4 = 0".

a. Chỉ ra P, Q và xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề trên.

b. Với mỗi mệnh đề đã cho, phát biểu mệnh đề Q => P và xét tính đúng sai của nó.

Hướng dẫn giải:

a.

• Mệnh đề 1: mệnh đề đúng.

P là "ABC là tam giác đều", Q là "nó có hai góc bằng $60^{\circ}$".

• Mệnh đề 2: mệnh đề đúng.

P là "a = 2", Q là "$a^{2}$ - 4 = 0"

b.

• "Nếu tam giác ABC có hai góc bằng $60^{\circ}$ thì tam giác ABC là tam giác đều" - mệnh đề đúng.
• "Nếu $a^{2}$ - 4 = 0 thì a = 2" - mệnh đề sai.

Thực hành 6: Xét hai mệnh đề:

P: "Tứ giác ABCD là hình vuông";

Q: "Tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau".

a. Phát biểu mệnh đề P => Q và mệnh đề đảo của nó.

b. Hai mệnh đề P và Q có tương đương không? Nếu có, sử dụng thuật ngữ "điều kiện cần và đủ" hoặc "khi và chỉ khi" để phát biểu định lí P <=> Q theo hai cách khác nhau.

Hướng dẫn giải:

a. "Nếu tứ giác ABCD là hình vuông thì tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau."

Mệnh đề đảo là: "Nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau thì tứ giác ABCD là hình vuông".

b. Hai mệnh đề P và Q có tương đương.

• Cách 1: "Tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD là hình vuông".
• Cách 2: "Tứ giác ABCD là hình vuông khi và chỉ khi tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau". 

6. MỆNH ĐỀ CHỨA KÍ HIỆU $\forall, \exists $

Khám phá 6: Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau: 

1. Với mọi số tự nhiên x, $\sqrt{x}$ là số vô tỉ;
2. Bình phương của mọi số thực đều không âm;
3. Có số nguyên cộng với chính nó bằng 0;
4. Có số tự nhiên n sao cho 2n - 1 = 0.

Hướng dẫn giải:

1. Sai
2. Đúng
3. Đúng
4. Sai

Thực hành 7: Sử dụng kí hiệu $\forall, \exists $ để viết các mệnh đề sau:

a. Mọi số thực cộng với số đối của nó đều bằng 0.

b. Có một số tự nhiên mà bình phương bằng 9.

Hướng dẫn giải:

a. $\forall$ x $\in\mathbb{R}$, x + (-x)  = 0

b. $\exists$ x $\in\mathbb{N}$, $x^{2}$ = 9

Thực hành 8: Xét tính đúng sai và viết mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:

a. $\forall$ x $\in\mathbb{R}$, $x^{2}$ > 0

b. $\exists$ x $\in\mathbb{R}$, $x^{2}$ = 5x - 4

c. $\exists$ x $\in\mathbb{Z}$, 2x + 1 = 0

Hướng dẫn giải:

a. Mệnh đề sai.

Mệnh đề phủ định: $\forall$ x $\in\mathbb{R}$, $x^{2}$ $\leq$ 0.

b. Mệnh đề đúng.

Mệnh đề phủ định: $\exists$ x $\in\mathbb{R}$, $x^{2}$ $\neq$ 5x - 4

c. Mệnh đề sai.

Mệnh đề phủ định: $\exists$ x $\in\mathbb{Z}$, 2x + 1 $\neq$ 0