Giải câu 3 trang 43 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1

a, $2\sqrt{x+3}=9x^{2}-x-4$

ĐKXĐ: $x\geq -3$

$2\sqrt{x+3}=9x^{2}-x-4$ <=> $1+2\sqrt{x+3}+x+3=9x^{2}$

<=> $(1+\sqrt{x+3})^{2}=(3x)^{2}$

<=> $1+\sqrt{x+3}=3x$ hoặc $1+\sqrt{x+3}=-3x$

Với $1+\sqrt{x+3}=3x$ <=> $\sqrt{x+3}=3x-1$ <=> $\left\{\begin{matrix}x+3=(3x-1)^{2} &  & \\ 3x-1\geq 0 &  & \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}9x^{2}-7x-2=0 &  & \\ x\geq \frac{1}{3} &  & \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}(9x+2)(x-1)=0 &  & \\ x\geq \frac{1}{3} &  & \end{matrix}\right.$

<=> x = 1 (thỏa mãn) hoặc x = $\frac{-2}{9}$ (loại)

Với $1+\sqrt{x+3}=-3x$ <=> $\sqrt{x+3}=-(1+3x)$

<=> $\left\{\begin{matrix}x+3=[-(3x+1)]^{2} &  & \\ 3x+1\leq 0 &  & \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}9x^{2}+5x-2=0 &  & \\ x\leq \frac{-1}{3} &  & \end{matrix}\right.$

<=> x = $\frac{-5+\sqrt{97}}{18}$ (loại) hoặc x = $\frac{-5-\sqrt{97}}{18}$ (thỏa mãn đk)

Vậy tập nghiệm của phương trình S = {$\frac{-5-\sqrt{97}}{18}$; 1}

b, $\sqrt{x+3}+\frac{4x}{\sqrt{x+3}}=4\sqrt{x}$

ĐKXĐ: $x\geq 0$

Nhân cả hai vế với $\sqrt{x+3}$ ta có:

$\sqrt{x+3}(\sqrt{x+3}+\frac{4x}{\sqrt{x+3}})=4\sqrt{x(x+3)}$

<=> $x + 3 + 4x = 4\sqrt{(x(x+3)}$ <=> $5x+3=4\sqrt{x(x+3)}$

<=> $(5x+3)^{2}=4^{2}.x.(x+3)$ <=> $9x^{2}-18x+9=0$ <=> $9(x^{2}-2x+1)=0$

<=> $9.(x-1)^{2}=0$ <=> x - 1 = 0 <=> x = 1

Vậy tập nghiệm của phương trình S = {1}

c, $x-2\sqrt{x-1}-(x-1)\sqrt{x}+\sqrt{x^{2}-x}=0$

ĐKXĐ: $x\geq 1$

$x-2\sqrt{x-1}-(x-1)\sqrt{x}+\sqrt{x^{2}-x}=0$

<=> $x-1-2\sqrt{x-1}+1-(x-1)\sqrt{x}+\sqrt{x(x-1)}=0$

<=> $(\sqrt{x-1}-1)^{2}-\sqrt{x(x-1)}.(\sqrt{x-1}-1)=0$

<=> $(\sqrt{x-1}-1).[(\sqrt{x-1}-1)-\sqrt{x(x-1)}]=0$

<=> $\sqrt{x-1}-1 = 0$ hoặc $(\sqrt{x-1}-1)-\sqrt{x(x-1)} = 0$

Với $\sqrt{x-1}-1 = 0$ <=> $\sqrt{x-1}=1$ <=> x - 1 = 1 <=> x = 2 (thỏa mãn ĐKXĐ)

Với $(\sqrt{x-1}-1)-\sqrt{x(x-1)} = 0$ <=> $\sqrt{x-1}-\sqrt{x(x-1)} = 1$ 

<=> $\sqrt{x-1}.(1-\sqrt{x})=1$

Với $x\geq 1$ thì $\sqrt{x-1}\geq 0$ và $(1-\sqrt{x})\leq 0$ => $\sqrt{x-1}.(1-\sqrt{x})\leq 0$ 

Mà 1 > 0 => $\sqrt{x-1}.(1-\sqrt{x})=1$ vô nghiệm

Vậy tập nghiệm của phương trình S = {2}

d, $\frac{x^{2}+7x+4}{x+2}=4\sqrt{x}$

ĐKXĐ: $x\geq 0$ và $x\neq -2$

$\frac{x^{2}+7x+4}{x+2}=4\sqrt{x}$

$\Leftrightarrow x^{2}+7x+4-4\sqrt{x}.(x+2) = 0$

Đặt $t = \sqrt{x} (t \geq 0)$. Ta có phương trình:

$t^{4}-4t^{3}+7t^{2}-8t+4$ = 0

$\Leftrightarrow (t^{4}-t^{3})-(3t^{3}-3t^{2}) + (4t^{2}-4t) - (4t - 4) = 0$

$\Leftrightarrow (t-1)(t^{3}-3t^{2}+4t-4)=0$

$\Leftrightarrow (t-1)(t-2)(t^{2} - t +2) = 0$

$\Leftrightarrow $ t = 1 hoặc t = 2 ( do $t^{2} - t +2 > 0$ với mọi $t\geq 0$)

+) t = 1 suy ra x = 1

+) t = 2 suy ra x = 4

Vậy tập nghiệm của phương trình S = {1; 4}