Câu 3: Trang 121 - SGK Hình học 11
Hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\), cạnh \(SA\) bằng \(a\) và vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\).
a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông.
b) Mặt phẳng \((α)\) đi qua \(A\) và vuông góc với cạnh \(SC\) lần lượt cắt \(SB, SC\) và \(SD\) tại \(B’, C’\) và \(D’\). Chứng minh \(B’D’\) song song với \(BD\) và \(AB’\) vuông góc với \(SB\).
Bài Làm:
a)
- Chứng minh $\Delta SAB$ vuông
Ta có: $SA\perp (ABCD),AB\subset (ABCD)=>SA\perp AB=>\Delta SAB vuông$
- Chứng minh $\Delta SAD$ vuông
Ta có: $SA\perp (ABCD),AD\subset (ABCD)=>SA\perp AD=>\Delta SAD vuông$
- Chứng minh $\Delta SBC$ vuông
$SA ⊥(ABCD)$ nên \(AB\) là hình chiếu của \(SB\) trên \(mp(ABCD)\)
\(ABCD\) là hình vuông nên \(BC ⊥AB\).
Ta có:
\(\left. \matrix{
SA \bot (ABCD) \hfill \cr
BC \bot AB \hfill \cr} \right\}\)
\(⇒ SB⊥BC\) (theo định lí ba đường vuông góc)
\(⇒ Δ SBC\) là tam giác vuông tại \( B\)
- Chứng minh $\Delta SCD$ vuông
$SA ⊥(ABCD)$ nên \(AD\) là hình chiếu của \(SD\) trên \(mp(ABCD)\)
\(ABCD\) là hình vuông nên \(CD ⊥AD\).
Ta có:
\(\left. \matrix{
SA \bot (ABCD) \hfill \cr
CD \bot AD \hfill \cr} \right\}\)
\(⇒ SD⊥CD\) (theo định lí ba đường vuông góc)
\(⇒ Δ SCD\) là tam giác vuông tại \( D\)
b)
- Chứng minh $B'D'//BD$
Ta có: $\left.\begin{matrix} BD& \perp AC \\ BD& \perp SA \\ AC& \cap SA \end{matrix}\right\}\Rightarrow BD\perp (SAC)$
mà $SC\subset (SAC)\Rightarrow BD\perp SC$
Mặt khác: $(\alpha )\perp SC (gt)\Rightarrow BD//(\alpha )$
Ta có: $(SBD) \cap (\alpha ) = B'D'$
=> $B'D'//BD$
- Chứng minh: $AB'\perp SB$
Vì $BC\perp (SAB),AB'\subset (SAB)\Rightarrow BC\perp AB'$ (1)
$SC\perp (\alpha ),AB'\subset (\alpha )\Rightarrow SC\perp AB'$ (2)
Từ (1) (2) suy ra $AB' \perp (SBC)\Rightarrow AB' \perp SB$