Bài Làm:
Lời giải bài 5:
Đề ra :
Cho x; y; z là các số thực dương thoả mãn: xyz = 1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : $A=\frac{1}{x^{3}+y^{3}+1}+\frac{1}{y^{3}+z^{3}+1}+\frac{1}{z^{3}+x^{3}+1}$
Lời giải chi tiết :
Ta có : $(x-y)^{2}$\geq 0,\forall x,y
<=> $x^{2}-xy+y^{2}\geq xy$
Mà x , y > 0 => x + y > 0
Ta có : $x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})$
=> $x^{3}+y^{3}\geq (x+y)xy$
=> $x^{3}+y^{3}+1=x^{3}+y^{3}+xyz\geq (x+y)xy+xyz$
=> $x^{3}+y^{3}+1\geq xy(x+y+z)>0$
Tương tự : $y^{3}+z^{3}+1\geq yz(x+y+z)>0$
$z^{3}+x^{3}+1\geq zx(x+y+z)>0$
=> $A\leq \frac{1}{xy(x+y+z)}+\frac{1}{yz(x+y+z)}+\frac{1}{zx(x+y+z)}$
<=> $A\leq \frac{x+y+z}{xyz(x+y+z)}=\frac{1}{xyz}=1$
Vậy $A_{max}=1<=> x=y=z=1$ .