Bài Làm:
Lời giải bài 4:
Đề ra :
Cho đường tròn (O), M là một điểm nằm ngoài đường tròn (O). Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O) với A, B là các tiếp điểm; MPQ là một cát tuyến không đi qua tâm của đường tròn (O), P nằm giữa M và Q. Qua P kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt AB, AQ tương ứng tại R, S. Gọi trung điểm đoạn PQ là N. Chứng minh rằng:
a. Các điểm M, A, N, O, B cùng thuộc một đường tròn, chỉ rõ bán kính của đường tròn đó.
b. PR = RS.
Lời giải chi tiết :
a.
Ta có :
- $\widehat{MAO}=90^{\circ}$ ( góc giữa tiếp tuyến với bán kính đi qua tiếp điểm )
- $\widehat{MBO}=90^{\circ}$
=> A , N ,B cùng nhìn MO dưới 1 góc vuông .
Vậy 5 điểm M, A, N, O, B cùng thuộc đường tròn bán kính $\frac{MO}{2}$ .
b.
Tứ giác MANB nội tiếp => $\widehat{AMN}=\widehat{ABN}$ (1)
Mặt khác : $OA\perp PS,OA\perp MA=> PS//MA$
=> $\widehat{AMN}=\widehat{RPN}$ (2)
Từ (1) , (2) => $\widehat{ABN}=\widehat{RPN}$
<=> $\widehat{RBN}=\widehat{RPN}$
=> Tứ giác PRNB nội tiếp <=> $\widehat{BPN}=\widehat{BRN}$ (3)
Ta lại có : $\widehat{BPN}=\widehat{BAQ}$ (4)
Từ (3) , (4) => $\widehat{BRN}=\widehat{BAQ}=> RN//SQ$
Và N là trung điểm của PQ => RN là đường trung bình của tam giác SPQ
=> PR = RS. ( đpcm )