Bài tập & Lời giải
Câu hỏi mở đầu
Trong kiến trúc, các vòm cổng bằng đá thường có hình nửa đường tròn để có thể chịu lực tốt. Trong hình bên, vòm cổng được ghét bởi sáu phiến đá hai bên tạo thành các cung AB, BC, CD, EF, FG, GH bằng nhau và một phiến đá chốt ở đỉnh. Nếu biết chiều rộng cổng và khoảng cách từ điểm B đến đường kính AH, làm thế nào để tính được khoảng cách từ điểm C đến AH?
Xem lời giải
1. Công thức cộng
Khám phá 1 trang 21 Toán 11 tập 1 Chân trời: Quan sát Hình 1. Từ hai cách tính tích vô hướng của vectơ $\overrightarrow{OM}$ và $\overrightarrow{ON}$ sau đây:
$\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{ON} = \left | \overrightarrow{OM} \right |.\left | \overrightarrow{ON} \right |cos\left ( \overrightarrow{OM}.\overrightarrow{ON} \right ) = cos\left ( \overrightarrow{OM}.\overrightarrow{ON} \right ) = cos(\alpha -\beta )$
$\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{ON} = x_{M}.x_{N}+y_{M}.y_{N}$
Hãy suy ra công thức tính $cos(\alpha -\beta )$ theo các giá trị lượng giác của $\alpha $ và $\beta $. Từ đó, hãy suy ra công thức $cos(\alpha +\beta )$ bằng cách thay $\beta $ bằng -$\beta $.
Xem lời giải
Thực hành 1 trang 21 Toán 11 tập 1 Chân trời: Tính $sin(\frac{\pi }{12})$ và $tan(\frac{\pi }{12})$
Xem lời giải
2. Công thức góc nhân đôi
Khám phá 2 trang 21 Toán 11 tập 1 Chân trời: Hãy áp dụng công thức cộng cho trường hợp $\beta = \alpha $ và tính các giá trị lượng giác của góc $2\alpha $.
Xem lời giải
Thực hành 2 trang 22 Toán 11 tập 1 Chân trời: Tính $cos\frac{\pi }{8}$ và $tan\frac{\pi }{8}$
Xem lời giải
3. Công thức biến đổi tích thành tổng
Khám phá 3 trang 22 Toán 11 tập 1 Chân trời: Từ công thức cộng, hãy tính tổng và hiệu của:
a) $cos(\alpha -\beta )$ và $cos(\alpha +\beta )$
b) $sin(\alpha -\beta )$ và $sin(\alpha +\beta )$
Xem lời giải
Thực hành 3 trang 22 Toán 11 tập 1 Chân trời: Tính giá trị của biểu thức $sin\frac{\pi }{24}cos\frac{5\pi }{24}$ và $sin\frac{7\pi }{8}cos\frac{5\pi }{8}$
Xem lời giải
4. Công thức biến đổi tổng thành tích
Khám phá 4 trang 22 Toán 11 tập 1 Chân trời: Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng cho hai góc lượng giác $a = \frac{\alpha +\beta }{2} $ và $b = \frac{\alpha -\beta }{2} $, ta được các đẳng thức nào?
Xem lời giải
Thực hành 4 trang 23 Toán 11 tập 1 Chân trời: Tính $cos\frac{7\pi }{12} + cos\frac{\pi }{12}$.
Xem lời giải
Vận dụng trang 23 Toán 11 tập 1 Chân trời: Trong bài toán khởi động, cho biết vòm cổng rộng 120cm và khoảng cách từ B đến đường kính AH là 27cm. Tính $sin\alpha $ và $cos\alpha $, từ đó tính khoảng cách từ điểm C đến đường kính AH. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.
Xem lời giải
BÀI TẬP
Bài tập 1 trang 23 Toán 11 tập 1 Chân trời: Không dùng máy tính cầm tay, tính các giá trị lượng giác của các góc:
a) $\frac{5\pi }{12}$
b) $-555^{o}$
Xem lời giải
Bài tập 2 trang 23 Toán 11 tập 1 Chân trời: Tính $sin(\alpha +\frac{\pi }{6})$, $cos(\frac{\pi }{4}-\alpha )$ biết $sin\alpha = -\frac{5}{13}$ và $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$.
Xem lời giải
Bài tập 3 trang 24 Toán 11 tập 1 Chân trời: Tính các giá trị lượng giác của góc $2\alpha $, biết:
a) $sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$ và $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$
b) $sin\frac{\alpha}{2} = \frac{3}{4}$ và $\pi <\alpha <2\pi $
Xem lời giải
Bài tập 4 trang 24 Toán 11 tập 1 Chân trời: Rút gọn các biểu thức sau:
a) $\sqrt{2}sin(\alpha +\frac{\pi }{4}) - cos\alpha $
b) $(cos\alpha + sin\alpha )^{2}-sin2\alpha $
Xem lời giải
Bài tập 5 trang 24 Toán 11 tập 1 Chân trời: Tính các giá trị lượng giác của góc $\alpha $, biết:
a) $cos2\alpha = \frac{2}{5}$ và $-\frac{\pi }{2}<\alpha <0$
b) $sin2\alpha = -\frac{4}{9}$ và $\frac{\pi }{2}<\alpha <\frac{3\pi }{4}$
Xem lời giải
Bài tập 6 trang 24 Toán 11 tập 1 Chân trời: Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có sinA = sinBcosC + sinC.cosB.
Xem lời giải
Bài tập 7 trang 24 Toán 11 tập 1 Chân trời: Trong Hình 3, tam giác ABC vuông tại B và có hai cạnh góc vuông là AB = 4, BC = 3. Vẽ điểm D nằm trên tia đối của tia CB thoả mãn $\widehat{CAD} = 30^{o}$. Tính tan$\widehat{BAD}$, từ đó tính độ dài cạnh CD.
Xem lời giải
Bài tập 8 trang 24 Toán 11 tập 1 Chân trời: Trong Hình 4, pít-tông M của động cơ chuyển động tịnh tiến qua lại dọc theo xi-lanh làm quay trục khuỷu IA. Ban đầu I,A,M thẳng hàng. Cho $\alpha $ là góc quay của trục khuỷu, O là vị trị của pít-tông khi $\alpha =\frac{\pi }{2}$ và H là hình chiếu của A lên Ix. Trục khuỷu IA rất ngắn so với độ dài thanh truyền AM nên có thể xem như độ dài MH không đổi và gần bằng MA.
a) Biết IA = 8 cm, viết công thức tính toạ độ $x_{M}$ của điểm M trên trục Ox theo $\alpha $.
b) Làm tròn $\alpha =0$. Sau 1 phút chuyển động, $x_{M}$ = -3cm. Xác định $x_{M}$ sau 2 phút chuyển động. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.
Xem lời giải
Bài tập 9 trang 24 Toán 11 tập 1 Chân trời: Trong Hình 5, ba điểm M, N, P nằm ở đầu các cánh quạt tua-bin gió. Biết các cánh quạt dài 31m, độ cao của điểm M so với mặt đất là 30m, góc giữa các cánh quạt là $\frac{2\pi }{3}$ và số đo góc (OA, OM) là $\alpha $
a) Tính $sin\alpha $ và $cos\alpha $
b) Tính sin của các góc lượng giác (OA, ON) và (OA, OP), từ đó tính chiều cao của các điểm N và P so với mặt đất (theo đơn vị mét). Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
