Lý thuyết trọng tâm toán 11 chân trời bài 3: Các công thức lượng giác

Tổng hợp kiến thức trọng tâm toán 11 chân trời sáng tạo bài 3 Các công thức lượng giác. Tài liệu nhằm củng cố, ôn tập lại nội dung kiến thức bài học cho học sinh dễ nhớ, dễ ôn luyện. Kéo xuống để tham khảo

CHƯƠNG I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

BÀI 3: CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

1. CÔNG THỨC CỘNG 

HĐKP 1

$\underset{OM}{\rightarrow}$⋅$\underset{ON}{\rightarrow}$=|$\underset{OM}{\rightarrow}$||$\underset{ON}{\rightarrow}$|cos⁡$\widehat{MON}$ (định nghĩa của tích vô hướng)

=|$\underset{OM}{\rightarrow}$||$\underset{ON}{\rightarrow}$|coscos($\alpha $-$\beta $) =coscos($\alpha $-$\beta $)

(vì $\widehat{MON}$=$\widehat{xON}$-$\widehat{xOM}$=α-β)

( vì M,N thuộc đường trò̀n lượng giác nên |$\underset{OM}{\rightarrow}$|=|$\underset{ON}{\rightarrow}$|=1). 

Vì M và N lần lượt là điểm biểu diễn của các góc lượng giác và trên đường tròn lượng giác, nên toạ độ của các điểm này là M(cos⁡β;sin⁡β) và N(cos⁡α;sin⁡α).

Do đó $\underset{OM}{\rightarrow}$⋅$\underset{ON}{\rightarrow}$=cos⁡βcos⁡α+sin⁡βsin⁡α

Vậy cos⁡(α-β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β.

Suy ra cos⁡(α+β)=cos⁡[α-(-β)]=cos⁡αcos⁡(-β)+sin⁡αsin⁡(-β)=cos⁡αcos⁡β-sin⁡αsin⁡β.

HĐKP 1

Kết luận: Công thức cộng

cos(α+β)=coscosαcoscosβ -sinsinαsinsinβ 

cos(α-β)=coscosαcoscosβ  +sinsinαsinsinβ 

sin(α-β)=sinsinαcoscosβ   -coscosαsinsinβ 

sin(α+β)=sinsinαcoscosβ   +coscosαsinsinβ 

tantan(α-β) =$\frac{tantan\alpha -tantan\beta }{1+tantan\alpha tantan\beta }$  

tantan(α+β)=$\frac{tantan\alpha +tantan\beta }{1-tantan\alpha tantan\beta }$  

Ví dụ 1 (SGK -tr.21)

Thực hành 1

sin⁡$\frac{\pi }{12}$=sin⁡($\frac{\pi }{3}$-$\frac{\pi }{4}$)=sin⁡$\frac{\pi }{3}$cos⁡$\frac{\pi }{4}$-cos$\frac{\pi }{3}$sin⁡$\frac{\pi }{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$.$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{1}{2}$.$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$;

tan$\frac{\pi }{12}$=tan⁡⁡($\frac{\pi }{3}$-$\frac{\pi }{4}$)=$\frac{tan\frac{\pi }{3}-tan\frac{\pi }{4}}{1+tan\frac{\pi }{3}tan\frac{\pi }{4}}$=$\frac{\sqrt{6}-1}{1+\sqrt{3}.1}$=2-$\sqrt{3}$

2. CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI

HĐKP 2:

coscos2α =coscos(α+α) =coscosαcoscosα -sinsinαsinsin⁡α

=cos$^{2}$⁡α-sin$^{2}$⁡α.

Mà cos$^{2}$⁡α-sin$^{2}$⁡α=cos$^{2}$α-(1-cos$^{2}$α)=2cos$^{2}$⁡α-1.

Hoặc cos$^{2}$⁡α-sin$^{2}$⁡α=(1-sin$^{2}$⁡α)-sin$^{2}$⁡α=1-2sin$^{2}$⁡α.

+) sin⁡2α=sin⁡(α+α)=sin⁡αcos⁡α+cos⁡αsin⁡α=2sin⁡αcos⁡α.

+) tan⁡2α=tan⁡(α+α)=$\frac{tan\alpha +tan\alpha }{1-tan\alpha tan\alpha }$=$\frac{2tan\alpha }{1-tan^{2}\alpha }$

Kết luận

sinsin2α=2sinsinαcoscos⁡α   

coscos2α=α - α=2α-1=1-2α

tantan2α= $\frac{\alpha }{1-\alpha }$

Ví dụ 2 (SGK -tr.22)

Thực hành 2:

+) cos$^{2} \frac{\pi }{8}$=$\frac{cos\frac{\pi }{4}+1}{2}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}+1}{2}$=$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$

Vì 0<$\frac{\pi }{8}$<$\frac{\pi }{2}$ nên cos⁡$\frac{\pi }{8}$>0. Do đó cos⁡$\frac{\pi }{8}$=$\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$.

+) tan$^{2} \frac{\pi }{8}$=$\frac{1}{cos^{2}\frac{\pi }{8}}$=$\frac{4}{2+\sqrt{2}}$=3-2$\sqrt{2}$.

Vì 0<$\frac{\pi }{8}$<$\frac{\pi }{2}$ nênt tan $\frac{\pi }{8}$>0. 

Do đó tan$\frac{\pi }{8}$=$\sqrt{3-2\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$-1.

3. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG

HĐKP 3

a) 

cos⁡(α-β)+cos⁡(α+β)

=(cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β)+(cos⁡αcos⁡β-sin⁡αsin⁡β)

=2coscos⁡αcoscos⁡β   

cos⁡(α-β)-cos⁡(α+β)

=(cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β)-(cos⁡αcos⁡β-sin⁡αsin⁡β)

=2sin⁡αsin⁡β

b)

sinsin(α-β) +sinsin(α+β)

=(sin⁡αcos⁡β-cos⁡αsin⁡β)+(sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β)

=2sinsin⁡αcos cos⁡β 

sinsin(α-β) -sinsin(α+β)

=(sin⁡αcos⁡β-cos⁡αsin⁡β)-(sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β)

=-2cos⁡αsin⁡β.

Kết luận:

coscos⁡β  =$\frac{1}{2}$[coscos(α-β )+coscos(α+β)]

sinsinβ  =$\frac{1}{2}$[coscos(α-β] -coscos(α+β)]

sin⁡αcos⁡β=$\frac{1}{2}$[sin⁡(α-β)+sin⁡(α+β)]

Ví dụ 3 (SGK -tr.22)

Thực hành 3

sinsin $\frac{\pi }{24}$coscos $\frac{5\pi }{24}$ 

=$\frac{1}{2}$[sinsin($\frac{\pi }{24}$-$\frac{5\pi }{24}$) +sinsin( $\frac{\pi }{24}$+$\frac{5\pi }{24}$)]

=$\frac{1}{2}$[sinsin( -$\frac{\pi }{6}$) +sinsin $\frac{\pi }{4}$]

=$\frac{1}{2}$(-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$)=$\frac{-1+\sqrt{2}}{4}$

sinsin$\frac{7\pi }{8}$sinsin $\frac{5\pi }{8}$ 

=$\frac{1}{2}$[coscos( $\frac{7\pi }{8}$-$\frac{5\pi }{8}$) -coscos( $\frac{7\pi }{8}$+$\frac{5\pi }{8}$)]

=$\frac{1}{2}$[coscos $\frac{\pi }{4}$ -coscos $\frac{3\pi }{2}$]

=$\frac{1}{2}$.$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$.

4. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH

HĐKP 4

+) cos⁡$\frac{\alpha +\beta }{2}$cos⁡$\frac{\alpha -\beta }{2}$=$\frac{1}{2}$[cos⁡($\frac{\alpha +\beta }{2}$-⁡$\frac{\alpha -\beta }{2}$)+cos⁡($\frac{\alpha +\beta }{2}$+⁡$\frac{\alpha -\beta }{2}$)]=$\frac{1}{2}$(cos⁡β+cos⁡α).

+) sin$\frac{\alpha +\beta }{2}$sin⁡$\frac{\alpha -\beta }{2}$=$\frac{1}{2}$[cos($\frac{\alpha +\beta }{2}$-⁡$\frac{\alpha -\beta }{2}$)-cos(⁡$\frac{\alpha +\beta }{2}$+⁡$\frac{\alpha -\beta }{2}$)]=$\frac{1}{2}$(cos⁡β-cos⁡α).

+) sin$\frac{\alpha +\beta }{2}$cos⁡$\frac{\alpha -\beta }{2}$

=$\frac{1}{2}$[sinsin($\frac{\alpha +\beta }{2}$-⁡$\frac{\alpha -\beta }{2}$)+sinsin($\frac{\alpha +\beta }{2}$+⁡$\frac{\alpha -\beta }{2}$)]

=$\frac{1}{2}$(sin⁡β+sin⁡α)

Kết luận

cos⁡α+cos⁡β=2cos⁡$\frac{\alpha +\beta }{2}$cos⁡$\frac{\alpha -\beta }{2}$

cos⁡α-cos⁡β=-2sin⁡$\frac{\alpha +\beta }{2}$sin⁡⁡$\frac{\alpha -\beta }{2}$

sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡$\frac{\alpha +\beta }{2}$cos⁡⁡$\frac{\alpha -\beta }{2}$

sin⁡α-sin⁡β=2cos⁡$\frac{\alpha +\beta }{2}$sin⁡⁡$\frac{\alpha -\beta }{2}$

Ví dụ 4 (SGK -tr.23)

Thực hành 4

coscos$\frac{7\pi }{12}$ +coscos$\frac{\pi }{12}$

=2cos $\frac{\frac{7\pi }{12}+\frac{\pi }{12}}{2}$cos $\frac{\frac{7\pi }{12}-\frac{\pi }{12}}{2}$ 

=2cos⁡$\frac{\pi }{3}$cos$\frac{\pi }{4}$=2⋅$\frac{1}{2}$.$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Vận dụng 

Vận dụng

Đặt α=$\widehat{BOB'}$. Ta có sin⁡α=$\frac{BB'}{OB}$=$\frac{27}{60}$=$\frac{9}{20}$.

Vì 0<α<90$^{\circ}$ nên cos⁡α>0, suy ra cos⁡α=$\sqrt{1-sin^{2}\alpha }$=$\frac{\sqrt{319}}{20}$

Khoảng cách từ C đến AH là h$_{C}$=60⋅sin⁡2α=60.2sin⁡αcos⁡α=$\frac{27\sqrt{319}}{10}$≈48,2( cm).

Xem thêm các bài Giải toán 11 tập 1 chân trời sáng tạo, hay khác:

Xem thêm các bài Giải toán 11 tập 1 chân trời sáng tạo được biên soạn cho Học kì 1 & Học kì 2 theo mẫu chuẩn của Bộ Giáo dục theo sát chương trình Lớp 11 giúp bạn học tốt hơn.

Lớp 11 | Để học tốt Lớp 11 | Giải bài tập Lớp 11

Giải bài tập SGK, SBT, VBT và Trắc nghiệm các môn học Lớp 11, dưới đây là mục lục các bài giải bài tập sách giáo khoa và Đề thi chi tiết với câu hỏi bài tập, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và 2 (đề kiểm tra học kì 1 và 2) các môn trong chương trình Lớp 11 giúp bạn học tốt hơn.