CHƯƠNG II: DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN
BÀI 2: CẤP SỐ CỘNG
1. CẤP SỐ CỘNG
HĐKP 1
Các dãy số trên có điểm giống nhau:
Trong cùng một dãy số, số liền sau bằng tổng của số liền trước với một số không đổi.
Kết luận
Cấp số cộng là một dãy số (hữa hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số d không đổi.
u$_{n}$=u$_{n-1}$+d với n∈N*.
Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.
Nhận xét: Nếu u$_{n}$ là cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó trong dãy:
u$_{k}$=$\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}$ ,∀k≥2
Thực hành 1
a) Dãy số 3; 7; 11; 15; 19; 23 là cấp số cộng vì kể từ số hạng hứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với 4.
b) Ta có: u$_{n+1}$=9(n+1)-9=9n-9+9=u$_{n}$+9
Vậy dãy số (u$_{n}$) là cấp số cộng có công sai d = 9
c) Ta có: v$_{n+1}$=a(n+1)-b=an-b+a=v$_{n}$+a
Vậy dãy số (v$_{n}$) là cấp số cộng có công sai d = a.
Thực hành 2
3 góc của tam giác lập thành cấp số cộng, gọi 3 góc đó là: a; a+d; a+2d (a,d > 0)
Ta có:
a+(a+d)+(a+2d)=180$^{\circ}$
<=> 3a+3d=180$^{\circ}$
<=> a+d=60$^{\circ}$ (1)
Do tam giác đó là tam giác vuông nên có 1 góc bằng 90$^{\circ}$. Suy ra a+2d=90$^{\circ}$ (2)
Từ (1) và (2), ta tính được a=30$^{\circ}$,d=30$^{\circ}$
Vậy số đo 3 góc là 30$^{\circ}$;60$^{\circ}$;90$^{\circ}$.
Vận dụng 1
Số ô trên các vòng là: u$_{1}$=6;u$_{2}$=12;u$_{3}$=18
Ta thấy u$_{n+1}$=u$_{n}$+6
Vậy các ô trên vòng theo thứ tự tạo thành cấp số cộng có công sai là 6.
2. Số hạng tổng quát của cấp số cộng
HĐKP 2
u$_{2}$-u$_{1}$=d
u$_{3}$-u$_{1}$=2d
u$_{4}$-u$_{1}$=3d
.....
u$_{n}$-u$_{1}$=(n-1)d
Định lí 1
Nếu cấp số cộng un có số hạng đầu u$_{1}$ và công sai d thì số hạng tổng quát u$_{n}$ của nó được xác định theo công thức
u$_{n}$=u$_{1}$+n-1d,n≥2.
Ví dụ 5 (SGK -tr.54)
Thực hành 3
a) a$_{n}$=5+(n-1).(-5)=-5n+10
b) b$_{10}$=b$_{1}$+9d20=2+9d<=>d=2
Suy ra số hạng tổng quát
b$_{n}$=2+(n-1).2=2n
Vận dụng 2
c$_{4}$=c$_{1}$+3d<=>c$_{1}$+3d=80
c$_{6}$=c$_{1}$+5d<=>c$_{1}$+5d=40
Suy ra c$_{1}$=140 và d=-20
c$_{n}$=140+(n-1).(-20)=-20n+160
Vậy số hạng tổng quát của cấp số cộng là
c$_{n}$=-20n+160
2. TỔNG CỦA N SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA CẤP SỐ CỘNG
HĐKP 3
a)
u$_{1}$+u$_{n}$=u$_{1}$+u$_{1}$+(n-1)d=2u$_{1}$+(n-1)d
u$_{2}$+u$_{n-1}$=u1+d+u$_{1}$+(n-2)d=2u$_{1}$+(n-1)d
u$_{3}$+u$_{n-2}$=u1+2d+u$_{1}$+(n-3)d=2u$_{1}$+(n-1)d
….
u$_{k}$+u$_{n-k+1}$=2u$_{1}$+(n-1)d
b) Theo a ta có
2(u$_{1}$+u$_{2}$+...+un)=n(2u$_{1}$+(n-1)d)
2(u$_{1}$+u$_{2}$+...+un)=n(u$_{1}$+u$_{n}$)
Định lí 2
Cho cấp số cộng u$_{n}$ với công sai d. Đặt S$_{n}$=u$_{1}$+u$_{2}$+…+u$_{n}$. Khi đó
S$_{n}$=$\frac{n(u_{1}+u_{n})}{2}$
Hay S$_{n}$=$\frac{n}{2}$[2u$_{1}$+(n-1)d]
Ví dụ 6 (SGK -tr.55)
Thực hành 4
a) Tổng 50 số tự nhiên chẵn đầu tiên là:
S$_{50}$=$\frac{50[2.0+(50-1).2}{2}$=2450
b) u$_{3}$+u$_{28}$=u$_{1}$+2d+u$_{1}$+27d=u$_{1}$+u$_{1}$+29d=u$_{1}$+u30=100
S$_{30}$=$\frac{n(u_{1}+u_{30})}{2}$=30.1002=1500
c) S$_{6}$=$\frac{6(2u_{1}+5d)}{2}$=18<=>2u$_{1}$+5d=6
S$_{10}$=$\frac{10(2u_{1}+9d)}{2}$=110<=>2u$_{1}$+9d=22
Suy ra u$_{1}$=-7;d=4
S$_{20}$=$\frac{20(2u_{1}+19d)}{2}$=620
Vận dụng 3
Ta có: u$_{1}$=17;u$_{2}$=20;u$_{3}$=23
Suy ra d = 3 và u$_{n}$=17+(n-1).3=3n+14
a) u$_{20}$=3.20+14=74
b) S$_{20}$=20.$\frac{(17+74)}{2}$=910