CHƯƠNG II: DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN
BÀI 3. CẤP SỐ NHÂN
1. CẤP SỐ NHÂN
HĐKP 1
a) Thương của 2 số hạng liên tiếp trong dãy là 2.
b) Điểm giống nhau của các dãy số là:
Trong mỗi dãy số, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng liền trước với một số không đổi.
Kết luận
Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể tử số hạng thứ hai mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.
u$_{n}$=u$_{n-1}$q với n$\in $N*.
Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.
Chú ý: Dãy số (u$_{n}$) là cấp số nhân thì
u$_{k}^{2}$=u$_{k-1}$.u$_{k+1}$, ∀k≥2.
Thực hành 1
Vì 3 số m, n, p theo thứ tự lập thành 1 cấp số cộng.
Gọi d là công sai của cấp số công. Ta có: n = m + d, p = n+ d
Ta có: 2$^{n}$=2$^{m+d}$=2$^{m}$.2$^{d}$
Và 2$^{p}$=2$^{n+d}$=2$^{n}$.2$^{d}$
Vậy 2$^{m}$,2$^{n}$,2$^{p}$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội là 2$^{d}$.
Vận dụng 1
Dân số qua các năm là:
u$_{2011}$=P
u$_{2012}$=P+aP=P(1+a)=u$_{2011}$.(1+a)
u$_{2013}$=P(1+a)+aP(1+a)=P(1+a)2=u$_{2012}$.(1+a)
.....
u$_{n+1}$=u$_{n}$(1+a)
Vậy dân số các năm tạo thành cấp số nhân có công bội là 1+a.
Vận dụng 2
Do tần số của ba phím Sol, La, Si tạo thành cấp số nhân nên gọi tần số 3 phím lần lượt là: a,aq,aq$^{2}$
Ta có: a=415 và aq2=466. Nên q=1,06
Suy ra: aq=440
Vậy tần số của phím La là 440 Hz.
2. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA CẤP SỐ NHÂN
HĐKP 2
u$_{2}$=u$_{1}$.q
u$_{3}$=u$_{2}$.q=u$_{1}$.q$^{2}$
u$_{4}$=u$_{3}$.q=u$_{1}$.q$^{3}$
u$_{10}$=u$_{1}$.q$^{9}$
Định lí 1
Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu u$_{1}$ và công bội q thì số hạng tổng quát u$_{n}$ của nó được xác định bởi công thức
u$_{n}$=u$_{1}$q$^{n-1}$ với n≥2.
Ví dụ 4 (SGK -tr.59)
Thực hành 2
a) u$_{1}$=5.2$^{n-1}$
b) u$_{1}$=1.($\frac{1}{10}$)$^{n-1}$
Vận dụng 3
a) Sau 690 = 138.5 ngày, tức là sau 5 chu kì bán rã, khối lượng nguyên tố Poloni còn lại là:
20⋅($\frac{1}{2}$)$^{4}$=1,25( g);
b) Sau 7314 = 138.53 ngày, tức là sau 53 chu kì bán rã, khối lượng nguyên tố Poloni còn lại là:
20⋅($\frac{1}{2}$)$^{52}$≈4,44⋅10$^{-15}$( g).
3. TỔNG CỦA N SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA CẤP SỐ NHÂN
HĐKP 3
S$_{n}$=u$_{1}$+u$_{2}$+…+u$_{n}$
=u$_{1}$+u$_{1}$.q+u$_{1}$.q$^{2}$+....+u$_{1}$.q$^{n-1}$
a) Ta có:
q.S$_{n}$=u$_{1}$.q+u$_{1}$.q$^{2}$+....+u$_{1}$.q$^{n}$
u$_{2}$+…+u$_{n}$+q.u$_{n}$=u$_{1}$.q+u$_{1}$.q$^{2}$+....+u$_{1}$.q$^{n+1}$+u$_{1}$.q$^{n}$
Vậy q.S$_{n}$=u$_{2}$+…+u$_{n}$+q.u$_{n}$
b) Ta có: u$_{1}$+q.S$_{n}$=u$_{1}$+u$_{2}$+…+u$_{n}$+q.u$_{n}$
=u$_{1}$+u$_{2}$+..+u$_{n}$+q.u$_{n}$=S$_{n}$+u$_{1}$.q$^{n}$
Vậy u$_{1}$+q.S$_{n}$=S$_{n}$+u$_{1}$.q$^{n}$
Định lí 2
Giả sử un là một cấp số nhân với công bội q≠1. Đặt Sn=u$_{1}$+u2+…+u$_{n}$. Khi đó
S$_{n}$=$\frac{u_{1}(1-q^{n})}{1-q}$
Chú ý: Khi q=1 thì S$_{n}$=n.u$_{1}$
Ví dụ 5 (SGK -tr.60)
Thực hành 3
a) S$_{5}$=$\frac{10^{5}(1-0,1^{5})}{1-0,1}$=11110
b) u$_{2}$=-20=u$_{1}$.q.
Suy ra q=-2
S$_{5}$=$\frac{10(1-(-2)^{5})}{1-(-2)}$=110
Vận dụng 4
Ta có: u$_{1}$=120;q=$\frac{1}{2}$
S$_{10}$=$\frac{120(1-(\frac{1}{2})^{10})}{1-(\frac{1}{2})}$=239,8