Luyện tập 5 trang 51 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng $a\sqrt{\frac{5}{12}}$.Tính số đo của góc nhị diện [S, BC, A].
Bài Làm:
Gọi H
là hình chiếu vuông góc của
S lên mặt phẳng đáy ABC. Ta có:
$SH^{2}=SB^{2}-BH^{2}$
$SB=\frac{a}{2\sqrt{2}}.\sqrt{a^{2}+(\frac{a\sqrt{5}}{2})^{2}}$ và $BH=\frac{a}{2}$ (do tam giác SBC đều)
Từ đó suy ra: $SH^2 = (\frac{a}{2\sqrt{2}} \cdot \sqrt{a^2 + (\frac{a\sqrt{5}}{2})^2})^2 - (\frac{a}{2})^2 = \frac{a^2}{8}$
Áp dụng định lí cosin trong tam giác SAH
với $AH=\frac{a\sqrt{6}}{3}$
$cos(\widehat{SAH})=\frac{SH^{2}+SA^{2}-AH^{2}}{2.SH.SA}$
$cos(\widehat{SAH})=\frac{\frac{a^{2}}{8}+a^{2}-(\frac{a\sqrt{6}}{3})^{2}}{2.\frac{a}{\sqrt{8}}.a}=\frac{5}{6\sqrt{2}}$
Vậy góc nhị diện [S, BC, A] có số đo là:
$\widehat{SAH}=\cos^{-1}(\frac{5}{6\sqrt{2}})\approx 38^\circ$
