BÀI TẬP
Bài tập 7.16 trang 53 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình chóp S.ABC có $SA \perp (ABC)$. Gọi H là hình chiếu của A trên BC.
a) Chứng minh rằng $(SAB) \perp (ABC)$ và $(SAH) \perp (SBC)$.
b) Giả sử tam giác ABC vuông tại A, $\widehat{ABC} = 30 ^{\circ}$, $AC = a$, $SA = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ .Tính số đo nhị diện [S. BC. A]
Bài Làm:
a) $(SAB) \perp (ABC)$: Vì $SA \perp (ABC)$ nên ta có $SA \perp AB$ và $SA \perp AC$. Do đó, ta có thể kết luận rằng hình chiếu của $S$ trên mặt phẳng $(ABC)$ là $A$, và hình chiếu của $A$ trên đường thẳng $SB$ cũng nằm trên mặt phẳng $(ABC)$, do đó $(SAB)$ vuông góc với $(ABC)$.
$(SAH) \perp (SBC)$: Gọi $I$ là trung điểm của $SA$. Ta có $IH \perp BC$ vì $H$ là hình chiếu của $A$ trên $BC$, và $SI \perp BC$ vì $SI$ là đường cao của tam giác $SBC$. Do đó, $(SAH)$ vuông góc với $(SBC)$.
b) ta có \widehat{ABC} = 30^\circ do đó $AB=AC\sqrt{3}=a\sqrt{3} $ Diện tích tam giác $ABC$ là $S_{ABC}=\frac{1}{2}.AB.AC=\frac{3a^{2}}{4}$
Gọi $
H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên $BC$. Khi đó, ta có:
$SBC=\frac{1}{2}.BC.SH=\frac{1}{2}.2a.\frac{a\sqrt{3}}{4}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$
Do đo số đo nhị diện $[S.BC.A]$
$S_{SBC}-S_{ABC}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}-\frac{3a^{2}}{4}=-\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$
