Bài tập & Lời giải
1. MỘT SỐ BÀI TOÁN DẪN ĐẾN KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM
a) Vận tốc tức thời của một vật chuyển động thẳng
Hoạt động 1 trang 81 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Một vật di chuyển trên một đường thẳng (H.9.2). Quãng đường s của chuyển động là một hàm số của thời gian $t$, $s=s(t)$ (được gọi là phương trình của chuyển động).
a) Tính vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian từ $t_{0}$ đến $t$
b Giới hạn $\lim_{t\rightarrow t_{0}}\frac{s(t)-s(t_{0})}{t-t_{0}}$ cho ta biết điều gì?
Xem lời giải
b) Cường độ tức thời
Hoạt động 2 trang 82 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Điện lượng $Q$ truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian $t$, có dạng $Q = Q(t)$.
a) Tính cường độ trung bình của dòng điện trong khoảng thời gian từ $t_{0}$ đến $t$.
b) Giới hạn $\lim_{t\rightarrow t_{0}}\frac{Q(t)-Q(t_{0})}{t-t_{0}}$ cho ta biết điều gì?
Xem lời giải
2. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM
Luyện tập 1 trang 83 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm của hàm số $y= -x^{2}+2x+1$ tại điểm $x_{0}=-1$
Xem lời giải
3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT KHOẢNG
Hoạt động 3 trang 83 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm $f(x_{0})$ tại điểm $x_{0}$ bất kì trong các trường hợp sau:
a) $f(x)=c$ (c là hằng số);
b) $f(x) = x$.
Xem lời giải
Luyên tập 2 trang 84 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a) $y=x^{2}+1$;
b) $y = kx + c$ (với k, c là các hằng số).
Xem lời giải
4. Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM
a) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Hoạt động 4 trang 84 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Nhận biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị (C) và điểm $P(x_{0};f(x_{0}))\in (C)$. Xét điểm $Q(x; f (x))$ thay đổi trên (C) với $x\neq x_{0}$
a) Đường thẳng đi qua hai điểm P,Q được gọi là một là một cát tuyến của đồ thị (C) (H.9.3). Tìm hệ số góc KPQ của cát tuyến PQ.
b) Khi $x\rightarrow x_{0}$ thì vị trí của điểm $Q(x; f(x))$ trên đồ thị (C) thay đổi như thế nào?
c) Nếu điểm Q di chuyển trên (C) tới điểm P mà KPQ có giới hạn hữu hạn k thì có nhận xét gì về vị trí giới hạn của cát tuyến QP?
Xem lời giải
Luyên tập trang 85 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của parabol $y=x^{2} $ tại điểm có hoành độ$x_{0}=\frac{1}{2}$
Xem lời giải
b) Phương trình tiếp tuyến
Hoạt động 5 trang 85 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hàm số $y=x^{2}$ có đồ thị là đường parabol (P).
a) Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của (P) tại điểm có hoành độ $x_{0}=1$.
b) Viết phương trình tiếp tuyến đó.
Xem lời giải
Luyên tập 4 trang 85 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Viết phương trình tiếp tuyến của parabol $(P): y=-2x^{2}$ tại điểm có hoành độ $ x_{0}=-1$
Xem lời giải
Vận dụng trang 85 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Người ta xây dựng một cây cầu vượt giao thông hình parabol nối hai điểm có khoảng cách là 400 m (H.9.4). Độ dốc của mặt cầu không vượt quá $10^{\circ}$ (độ dốc tại một điểm được xác định bởi góc giữa phương tiếp xúc với mặt cầu và phương ngang như Hình 9.5). Tính chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu đến mặt đường (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Xem lời giải
BÀI TẬP
Bài tập 9.1 trang 86 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của các hàm số sau:
a) $y = x^{2} – x $tại$x_{0} = 1$;
b) $y = -x^{3}$ tại $x_{0} = -1$.
Xem lời giải
Bài tập 9.2 trang 86 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Sử dụng định nghĩa, tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a)$ y = kx^{2} + c$ (với k, c là các hằng số);
b) $y = x^{3}$
Xem lời giải
Bài tập 9.3 trang 86 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Viết phương trình tiếp tuyến của parabol $y=-x^{2}+4x $, biết:
a) Tiếp điểm có hoành độ $x_{0} = 1$;
b) Tiếp điểm có tung độ $y_{0} = 0$.
Xem lời giải
Bài tập 9.4 trang 86 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Một vật được phóng theo phương thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc ban đầu là 19,6 m/s thì độ cao h của nó (tính bằng mét) sau t giây được cho bởi công thức $h=19,6t – 4,9t^{2}$. Tìm vận tốc của vật khi nó chạm đất.
Xem lời giải
Bài tập 9.5 trang 86 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Một kĩ sư thiết kế một đường ray tàu lượn, mà mặt cắt của nó gồm một cung đường cong có dạng parabol (H.9.6a), đoạn dốc lên $L_{1}$, và đoạn dốc xuống $L_{2}$, là những phần đường thẳng có hệ số góc lần lượt là 0,5 và –0,75. Để tàu lượn chạy êm và không bị đổi hướng đột ngột, $L_{1}$ và $L_{2}$ phải là những tiếp tuyến của cung parabol tại các điểm chuyển tiếp P và Q (H.9.6b). Giả sử gốc toạ độ đặt tại P và phương trình của parabol là $y = ax^{2} + bx + c$, trong đó x tính bằng mét.
a) Tìm c.
b) Tính y'(0) và tìm b.
c) Giả sử khoảng cách theo phương ngang giữa P và Q là 40 m. Tìm a.
d) Tìm chênh lệch độ cao giữa hai điểm chuyển tiếp P và Q.
