Bài tập 7.18 trang 53 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A'B'C'D'.
a) Chứng minh rằng $(BDD'B') \perp (ABCD)$.
b) Xác định hình chiếu của $AC'$ trên mặt phẳng $(ABCD)$.
c) Cho $AB = a$,$BC=b$,$CC' =c$ . Tính $AC'$.
Bài Làm:
a) Ta có $BD // B'D'$ và $BD'=BD$, suy ra $BDD'B'$ là hình bình hành. Hơn nữa, $BD \perp AB$ và $B'D' \perp A'D'$, suy ra $BDD'B' \perp (ABCD)$.
b) Vẽ điểm $P$ trên $(ABCD)$ sao cho $AP \perp AC'$. Khi đó hình chiều $AC'$ trên $(ABCD)$ sẽ chính là đoạn thẳng $PC'$
Gọi $M$ là trung điểm cả $CC'$ ta có
$\vec{MC'}=\frac{1}{2}\vec{CC'}$
$\vec{MA}=\frac{1}{2}\vec{CA}$
Do đó:
$\vec{MC'}+\vec{MA}=\frac{1}{2}\vec{CC'}+\frac{1}{2}\vec{CA}=\frac{1}{2}(\vec{CC'}+\vec{CA})=\frac{1}{2}\vec{C'A}$
Kết hợp với $\vec{MA}$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD) $, suy ra $AP \perp (ABCD)$ từ đó ta tìm được điểm $P$ là giao điểm của đường thẳng $AA'$ với $(ABCD)$
c)Ta có $ABCD$ là hình chữ nhật, suy ra $AD=BC=b$. Hơn nữa, $AC'^2=\frac{a^2+b^2+2c^2}{2}= \dfrac{a^2+b^2}{2}+c^2$. Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác vuông $ABC$, ta có $AB=\sqrt{a^2+b^2}$, suy ra:
$AC'=\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}+c^{2}}=\sqrt{(\frac{a^{2}+b^{2}}{2})+c^{2}}$
