Bài tập 7.19 trang 53 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình chóp đều S.ABC, đây có cạnh bằng a, cạnh bên bằng b.
a) Tính sin của góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy.
b) Tính tang của góc giữa mặt phẳng chứa mặt đáy và mặt phẳng chứa mặt bên.
Bài Làm:
a) Vì đây là hình chóp đều nên cạnh đáy AB có độ dài bằng a. Đường cao HS được kéo từ đỉnh S xuống mặt phẳng đáy ABC. Theo định lý Pythagoras, ta có: $HS^{2}=SA^{2} -AS^{2}$
$SA=SB=SC=\sqrt{a^{2}+(\frac{b}{2})^{2}}$ và $AS=\frac{b}{2}$
Thay vào công thức ta có :
$HS^{2}=(a^{2}+\frac{b^{2}}{4})-\frac{b^{2}}{4}=a^{2}$
Do $HS=a$ và góc gữa đường cao HS và cạnh đáy AB là góc $\theta$
$sin \theta =\frac{HS}{AB}=\frac{a}{a}=1$
b) Mặt phẳng SBC là một tam giác đều, do đó các cạnh SB và SC là phân giác của góc $\widehat{BSC}=120^\circ$ .Vì vậy, góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng SBC là một nửa của góc $\widehat{BSC} $
Do đó, tang của góc giữa mặt phẳng chứa mặt đáy và mặt phẳng chứa mặt bên là:
$tan \theta=tan60^\circ = \sqrt{3}$
