Luyện tập 4 trang 48 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình chóp S.ABC có $SA \perp (ABC)$, AB = AC = a,
$\widehat{BAC}=120^{\circ}$ , $SA= \frac{a}{2\sqrt{3}}$. Gọi M là trung điểm của BC.
a) Chứng minh rằng SMA là một góc phẳng của góc nhị diện [S, BC, A].
b) Tinh số đo của góc nhị diện [S, BC, A].
Bài Làm:
a) Vì $SA \perp (ABC)$ nên $\widehat{SAB} = \widehat{SAC} = 30^{\circ}$. Do đó, tam giác $ABC$ là tam giác đều với $AB = AC = a$. Khi đó, $BM = CM = \frac{a}{2}$ và $SM \perp (ABC)$ vì $SM$ là đường cao của tam giác $ABC$. Do đó, tam giác $SMB$ và tam giác $SMC$ là hai tam giác cân với $SM$ là đường trung trực của $BC$. Vì vậy, $\widehat{SMB} = \widehat{SMC}$. Từ đó, suy ra $\widehat{SMA} = 180^{\circ} - 2\widehat{SMB} = 180^{\circ} - 2\widehat{SMC}$, tức là $\widehat{SMA}$ là một góc phẳng của góc nhị diện $[S, BC, A]$.
b) b) Gọi I là trung điểm của SA. Ta có $\widehat{BAC}=120^{\circ} $ , nên tam giác ABC là tam giác đều. Khi đó, BC=a nên ta có
$MI = \frac{1}{2}SI=\frac{a}{4\sqrt{3}} $
$MA=\sqrt{MI^{2}+IA^{2}}=\sqrt{(\frac{a}{4\sqrt{3}}})^{2}+(\frac{a}{2\sqrt{3}})^{2}=\frac{a}{2}$
Suy ra, tam giác SMA cũng là tam giác đều. Do đó, góc SMA có số đo là $60^{\circ}$
$\widehat{SMB} +\widehat{BMA}+\widehat{AMS}=180^{\circ}$ Vì BM là đường trung trực của AC, nên $\widehat{BMA}=$\widehat{CMA}=30^{\circ}$
Suy ra: $\widehat{SMB} = 180^{\circ} - \widehat{BMA} - \widehat{AMS} = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 60^{\circ} = 90^{\circ}.$ Vậy, góc nhị diện [S, BC, A] có số đo là $90^{\circ}$
