9. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Từ D kẻ đường vuông góc với BC cắt AB tại M, từ E kẻ đường vuông góc với BC cắt AB tại M, từ E kẻ đường vuông góc với BC cắt AC tại N.
a. Chứng minh MD = NE.
b. MN cắt DE tại I. Chứng minh I là trung điểm của DE.
c. Từ C kẻ đường vuông góc với AC, từ B kẻ đường vuông góc với AB, chúng cắt nhau tại O. Chứng minh AO là đường trung trực của BC.
Bài Làm:
a. MD vuông góc với BD và NE vuông góc với CE nên $\Delta MDB$ và $\Delta NEC$ lần lượt vuông tại D và E.
Tam giác ABC cân tại A nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ hay $\widehat{MBD}=\widehat{ACB}$
Mà $\widehat{ACB}=\widehat{NCE}$ (hai góc đối đỉnh)
$\Rightarrow \widehat{MBD}=\widehat{NCE}$
Xét hai tam giác vuông MDB và NEC có:
- BD = CE
- $\widehat{MBD}=\widehat{NCE}$
Do đó $\Delta MDB$ = $\Delta NEC$ (cạnh góc vuông - góc nhọn kề)
Theo tính chất hai tam giác bằng nhau ta có MD = NE.
b. Xét hai tam giác vuông MDI và NEI có:
- MD = NE
- $\widehat{MID}=\widehat{NIE}$
Do đó $\Delta MDI$ = $\Delta NIE$ (cạnh góc vuông - góc nhọn kề)
Theo tính chất hai tam giác bằng nhau ta có DI = IE.
Mà I thuộc DE nên I là trung điểm của DE. (đ.p.c.m)
c. Xét hai tam giác vuông ABO và ACO có:
- chung cạnh huyền AO
- AB = AC
Do đó $\Delta ABO$ = $\Delta ACO$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
Theo tính chất của hai tam giác bằng nhau ta có CO = BO
Ta có AB = AC nên A thuộc đường trung trực của BC.
CO = BO nên O thuộc đường trung trực của BC.
Vậy AO là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
