6. Cho tam giác ABC có $\widehat{A}=45^{\circ}$, AB = AC. Từ trung điểm I của đoạn thẳng AC, kẻ đường vuông góc với AC cắt đường thẳng BC tại M. Trên tia đối của tia AM lấy điểm N sao cho AN = BM. Chứng minh rằng:
a. $\widehat{MAC}=\widehat{ABC}$
b. $\Delta ABM = \Delta CAN$
c. Tam giác MNC vuông cân ở C.
Bài Làm:
MI vuông góc với AC nên hai tam giác AMI và CMI vuông tại I, mà có:
- AI = IC (I là trung điểm AC)
- chung cạnh MI
Do đó $\Delta AMI= \Delta CMI$
Theo tính chất hai tam giác bằng nhau ta có: $\widehat{MAI}=\widehat{ICM}$
Tam giác ABC có AB = AC nên là tam giác cân do đó $\widehat{ACB}=\widehat{ABC}$
Suy ra $\widehat{MAC}=\widehat{ABC}$
b. Ta có: $\widehat{MAC} + \widehat{CAN} = 180^{\circ}$
$\widehat{MBA} + \widehat{ABC} = 180^{\circ}$
Mà $\widehat{MAC}=\widehat{ABC}$
Suy ra $\widehat{MBA}=\widehat{CAN}$
Xét hai tam giác MBA và NAC có:
- AN = BM
- $\widehat{MBA}=\widehat{CAN}$
- AB = AC
Do đó $\Delta ABM= \Delta CAN$
c. Ta có: $\widehat{ABC} = \widehat{BMA} + \widehat{MAB}$
$\widehat{MAC} = \widehat{MAB} + \widehat{BAC}$
Mà $\widehat{MAC}=\widehat{ABC}$
Suy ra $\widehat{BMA}=\widehat{ABC}=45^{\circ}$
Theo câu b ta có: $\Delta ABM= \Delta CAN$ nên $\widehat{BMA}=\widehat{CNA}=45^{\circ}$
Suy ra $\widehat{NCM}=90^{\circ}$.
Do đó tam giác NCM vuông cân tại C.
