7. Cho đoạn thẳng AB và điểm C nằm giữa A và B. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tam giác đều ACD và BCE. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AE và BD. Chứng minh rằng:
a. AE = BD
b. $\Delta CME= \Delta CNB$
c. Tam giác MNC là tam giác đều.
Bài Làm:
a. Tam giác ADC và BCE đều nên $\widehat{DCA}=\widehat{ECB}=60^{\circ}$
Ta có: $\widehat{ACE}=\widehat{ACD}+\widehat{DCE}$
$\widehat{DCB}=\widehat{DCE}+\widehat{ECB}$
Suy ra $\widehat{ACE}=\widehat{DCB}$
Xét 2 tam giác ACE và DCB có:
- AC = DC (tam giác ADC đều)
- $\widehat{ACE}=\widehat{DCB}$
- CE = BC (tam giác CEB đều)
Do đó $\Delta ACE= \Delta DCB $ (c.g.c)
Theo tính chất hai tam giác bằng nhau ta được AE = DB.
b. M và N lần lượt là trung điểm của AE và BD. Mà AE = BD nên ME = NB
Theo câu a ta có: $\Delta ACE= \Delta DCB $. Nên $\widehat{AEC}=\widehat{DBC}$ hay $\widehat{MEC}=\widehat{NBC}$
Xét hai tam giác CME và CNB có:
- ME = NB
- $\widehat{MEC}=\widehat{NBC}$
- CE = CB
Do đó $\Delta CME= \Delta CNB$ (c.g.c)
c. Theo câu b ta có $\Delta CME= \Delta CNB$
Theo tính chất hai tam giác bằng nhau thì CM = CN và $\widehat{MCE}=\widehat{NCB}$
Mà $\widehat{MCE}=\widehat{MCN}+\widehat{NCE}$
$\widehat{NCB}=\widehat{NCE}+\widehat{ECB}$
Suy ra $\widehat{MCN}=\widehat{ECB}$
Mà $\widehat{ECB}=60^{\circ}$ nên $\widehat{MCN}=60^{\circ}$.
Xét tam giác MCN có $\widehat{MCN}=60^{\circ}$; CM = CN
Do đó tam giác MNC là tam giác đều.
