8. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AD = AE. Các đường thẳng vuông góc kẻ từ A và E với CD cắt BC ở G và H. Đường thẳng EH và đường thẳng AB cắt nhau ở M. Đường thẳng kẻ từ A song song với BC cắt MH tại I. Chứng minh:
a. $\Delta ACD = \Delta AME$.
b. $\Delta AGB= \Delta MIA$
c. BG = GH
Bài Làm:
a. Ta có AG // EH (cùng vuông góc với DC) nên $\widehat{AEM}=\widehat{GAC}$ (hai góc so le trong)
Mà $\widehat{BAG}+\widehat{GAC}=\widehat{BAC}=90^{\circ}$
$\widehat{ADC}+\widehat{DAG}=90^{\circ}$
Suy ra $\widehat{ADC}=\widehat{AEM}$
Xét hai tam giác vuông DAC và EAM có:
- $\widehat{ADC}=\widehat{AEM}$
- AD = AE
Do đó $\Delta ACD = \Delta AME$ (cạnh góc vuông - góc nhọn kề)
b. Theo câu a ta có $\Delta ACD = \Delta AME$ nên AC = AM. Mà AC = AB $\Rightarrow $ AB = AM.
Ta có: AG // MH nên $\widehat{BAG}=\widehat{AMI}$ (hai góc đồng vị)
AI // BC nên $\widehat{MAI}=\widehat{ABG}$ (hai góc đồng vị)
Xét 2 tam giác MAI và ABG có:
- $\widehat{MAI}=\widehat{ABG}$
- AB = AM
- $\widehat{AMI}=\widehat{BAG}$
Do đó $\Delta AGB= \Delta MIA$ (g.c.g)
c. Có AG // MH nên $\widehat{GAH}=\widehat{AHI}$ (hai góc so le trong)
AI // BC nên $\widehat{GHA}=\widehat{HAI}$ (hai góc so le trong)
Xét hai tam giác GAH và AHI có:
- $\widehat{GAH}=\widehat{AHI}$
- chung cạnh AH
- $\widehat{GHA}=\widehat{HAI}$
Do đó $\Delta GAH= \Delta IHA$ (g.c.g)
Theo tính chất hai tam giác bằng nhau ta có GH = IA
Theo câu b ta có: $\Delta AGB= \Delta MIA$ nên GB = IA
Suy ra GB = GH (đ.p.c.m)
