5. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, dây CD khác AB. Gọi I là hình chiếu của O trên dây CD.
a, Chứng minh rằng I là trung điểm của CD
b, Gọi H, K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A, B đến CD. Chứng minh rằng I là trung điểm của HK.
c, Gọi T là hình chiếu của I trên AB. Chứng minh rằng SACB + SADB = IT.AB
d, Tìm vị trí của dây CD để diện tích tứ giác AHKB là lớn nhất.
Bài Làm:
a, I là hình chiếu của O trên CD => OI $\perp $ CD
Tam giác OCD cân tại O (OC = OD) có OI là đường cao => OI là trung tuyến
=> IC = ID hay I là trung điểm của CD.
b, AH $\perp $ CD; BK $\perp $ CD; OI $\perp $ CD
=> AH // BK // OI
=> AHKB là hình thang vuông
+ Hình thanh vuông AHKB có:
- OI // AH // BK
- O là trung điểm của AB
=> I là trung điểm của HK (Định lí đường trung bình của hình thang)
c,
Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của C và D trên AB.
+ CM $\perp $ AB và DN $\perp $ AB
=> CM // DN
+ Tứ giác CMND có CM // DN => CMND là hình thang
+ T là hình chiếu của I trên AB => IT $\perp $ AB
=> IT // CM // DN
+ Hình thang CMND có:
- I là trung điểm của CD
- IT // CM // DN
=> IT là đường trung bình của hình thang
=> IT = $\frac{CM+DN}{2}$ <=> CM + DN = 2.IT
+ Ta có: SACB = $\frac{1}{2}$.CM.AB và SADB = $\frac{1}{2}$.DN.AB
=> SACB + SADB = $\frac{1}{2}$.CM.AB + $\frac{1}{2}$.DN.AB = $\frac{1}{2}$.AB.(CM + DN) = $\frac{1}{2}$.AB.2.IT = AB.IT
=> SACB + SADB = AB.IT (đpcm)
d, Qua I kẻ đường thẳng d song song với AB cắt AH tại E và BK tại F
+ Xét tam giác IEH và tam giác IFK có:
- IH = IK ( I là trung diểm của HK)
- $\widehat{IHE}=\widehat{IKF}=90^{0}$
- $\widehat{EIH}=\widehat{FIK}$ (hai góc đối đỉnh)
=> $\Delta $IEH = $\Delta $ IFK (g - c - g)
=> SIEH = SIFK
+ Ta có: SAHKB = SAHIFB + SIFK và SAEFB = SAHIFB + SIEH
=> SAHKB = SAEFB
+ Tứ giác AEFB có AE // BF và AB // EF => AEFB là hình bình hành => SAEFB = IT.AB
=> SAHKB = IT.AB
+ Ta có: $IT\leq OI$ => $SAHKB \leq OI.AB$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi IT = OI hay OI $\perp $ AB khi đó CD // AB
Vậy để diện tích tứ giác AHKB là lớn nhất thì dây CD // AB.
