Giải câu 5 trang 98 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1

5. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, dây CD khác AB. Gọi I là hình chiếu của O trên dây CD.

Giải câu 5 trang 98 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1

a, Chứng minh rằng I là trung điểm của CD

b, Gọi H, K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A, B đến CD. Chứng minh rằng I là trung điểm của HK.

c, Gọi T là hình chiếu của I trên AB. Chứng minh rằng SACB + SADB = IT.AB

d, Tìm vị trí của dây CD để diện tích tứ giác AHKB là lớn nhất.

Bài Làm:

a, I là hình chiếu của O trên CD => OI $\perp $ CD

Tam giác OCD cân tại O (OC = OD) có OI là đường cao => OI là trung tuyến 

=> IC = ID hay I là trung điểm của CD.

b, AH $\perp $ CD; BK $\perp $ CD; OI $\perp $ CD

=> AH // BK // OI

=>  AHKB là hình thang vuông

+ Hình thanh vuông AHKB có:

  • OI // AH // BK
  • O là trung điểm của AB

=> I là trung điểm của HK (Định lí đường trung bình của hình thang)

c,

Giải câu 5 trang 98 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1

Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của C và D trên AB.

+ CM $\perp $ AB và  DN $\perp $ AB

=> CM // DN

+ Tứ giác CMND có CM // DN => CMND là hình thang

+ T là hình chiếu của I trên AB => IT $\perp $ AB

=> IT // CM // DN

+ Hình thang CMND có:

  • I là trung điểm của CD
  • IT // CM // DN

=> IT là đường trung bình của hình thang

=> IT = $\frac{CM+DN}{2}$ <=> CM + DN = 2.IT

+ Ta có: SACB = $\frac{1}{2}$.CM.AB và SADB = $\frac{1}{2}$.DN.AB

=> SACB + SADB = $\frac{1}{2}$.CM.AB + $\frac{1}{2}$.DN.AB = $\frac{1}{2}$.AB.(CM + DN) = $\frac{1}{2}$.AB.2.IT = AB.IT

=> SACB + SADB = AB.IT (đpcm)

d, Qua I kẻ đường thẳng d song song với AB cắt AH tại E và BK tại F

+ Xét tam giác IEH và tam giác IFK có:

  • IH = IK ( I là trung diểm của HK)
  • $\widehat{IHE}=\widehat{IKF}=90^{0}$
  • $\widehat{EIH}=\widehat{FIK}$ (hai góc đối đỉnh)

=> $\Delta $IEH = $\Delta $ IFK (g - c - g)

=> SIEH = SIFK

+ Ta có: SAHKB = SAHIFB + SIFK  và SAEFB = SAHIFB + SIEH

=> SAHKB = SAEFB

+ Tứ giác AEFB có AE // BF và AB // EF => AEFB là hình bình hành => SAEFB = IT.AB

=> SAHKB = IT.AB 

+ Ta có: $IT\leq OI$ => $SAHKB \leq OI.AB$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi IT = OI hay OI $\perp $ AB khi đó CD // AB

Vậy để diện tích tứ giác AHKB là lớn nhất thì dây CD // AB.

Xem thêm Bài tập & Lời giải

Trong: Giải phát triển năng lực toán 9 bài 2: Đường kính và dây cung của đường tròn

1. Cho đường tròn (Q). Tìm x trong những trường hợp dưới đây (Hình 2.5):

Giải câu 1 trang 97 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1

Xem lời giải

2. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). M là điểm bất kì thuộc cung BC không chứa A. Gọi D, E theo thứ tự là các điểm đối xưng với M qua AB, AC (hình 2.6).

Giải câu 2 trang 97 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1

a, Chứng minh rằng tam giác ADM và tam giác AME là các tam giác cân.

b, Chứng minh rằng $\widehat{DAE}=2\widehat{BAC}$

c, Gọi H là hình chiếu của A trên DE. Đặt $\widehat{HAE}=\alpha $. Viết biểu thức thể hiện mối liên hệ giữa $\alpha $, AE và DE.

d, Tìm vị trí của M trên cung BC để DE có độ dài lớn nhất.

Xem lời giải

3. Hai bạn Hà và Châu viết kết luận về các dây cung của đường tròn (F) vào các tờ giấy dưới đây. Em hãy cho biết bạn nào viết đúng. Giải thích.

Hình vẽChâu
Giải câu 3 trang 97 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1Vì DG $\perp $ BC nên DG là đường trung trực của BCTuy DG $\perp $ BC, nhưng DG không là đường trung trực của BC vì DG không là đường kính.

Xem lời giải

4. Trong một bản tin thời sự có phát thông tin về một vụ tai nạn giao thông trên núi. Theo lời nhân chứng kể lại chiếc xe ô tô đã di chuyển với tốc độ rất lớn. Khi gặp khúc cua, chiếc xe đã phanh gấp và bị đâm vào vách núi. Dấu vết của bánh xe hằn lên trên đường thành một hình vòng cung như hình 2.8. Em hãy thực hiện các yêu cầu dưới đây để tìm vận tốc tối đa của chiếc xe lúc đó nhé.

Giải câu 4 trang 98 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1

a, Tính bán kính r của cung tròn.

b, Biết rằng $S=3,16\sqrt{f.r}$ là công thức tính vận tốc tối đa của chiếc xe (m/s), trong đó r là bán kính của cung tròn (m) và f là hệ số ma sát của mặt đường. Giả sử f = 0,7, hãy tính vận tốc tối đa của chiếc xe khi xảy ra tai nạn theo đơn vị km/h.

Xem lời giải

Xem thêm các bài Bài tập phát triển năng lực toán 9, hay khác:

Để học tốt Bài tập phát triển năng lực toán 9, loạt bài giải bài tập Bài tập phát triển năng lực toán 9 đầy đủ kiến thức, lý thuyết và bài tập được biên soạn bám sát theo nội dung sách giáo khoa Lớp 9.

Lớp 9 | Để học tốt Lớp 9 | Giải bài tập Lớp 9

Giải bài tập SGK, SBT, VBT và Trắc nghiệm các môn học Lớp 9, dưới đây là mục lục các bài giải bài tập sách giáo khoa và Đề thi chi tiết với câu hỏi bài tập, đề kiểm tra 15 phút, 45 phút (1 tiết), đề thi học kì 1 và 2 (đề kiểm tra học kì 1 và 2) các môn trong chương trình Lớp 9 giúp bạn học tốt hơn.