Bài tập 5. Cho $\vec{a}$, $\vec{b}$ là hai vectơ khác vectơ $\vec{0}$. Trong trường hợp nào thì đẳng thức sau đúng?
a. |$\vec{a}$ + $\vec{b}$| = |$\vec{a}$| + |$\vec{b}$|;
b. |$\vec{a}$ + $\vec{b}$| = |$\vec{a}$ - $\vec{b}$|
Bài Làm:
a. Ta có: $|\vec{a} + \vec{b}|^{2}$ = $|\vec{a}|^{2}$ + $|\vec{b}|^{2}$ + 2|$\vec{a}$|. |$\vec{b}$|.cos($\vec{a}$, $\vec{b}$)
$(|\vec{a}| + |\vec{b}|)^{2}$ = $|\vec{a}|^{2}$ + $|\vec{b}|^{2}$ + 2|$\vec{a}$|. |$\vec{b}$|
Để |$\vec{a}$ + $\vec{b}$| = |$\vec{a}$| + |$\vec{b}$| thì 2|$\vec{a}$|. |$\vec{b}$|.cos($\vec{a}$, $\vec{b}$) = 2|$\vec{a}$|. |$\vec{b}$| $\Leftrightarrow$ cos($\vec{a}$, $\vec{b}$) = 1 $\Leftrightarrow$ ($\vec{a}$, $\vec{b}$) = $0^{\circ}$
Vậy trong trường hợp $\vec{a}$ = k$\vec{b}$ (k > 0) (hay $\vec{a}$ cùng hướng với $\vec{b}$ thì |$\vec{a}$ + $\vec{b}$| = |$\vec{a}$| + |$\vec{b}$|.
b. Ta có: $|\vec{a} + \vec{b}|^{2}$ = $(\vec{a} + \vec{b})^{2}$ = $\vec{a}^{2}$ + 2$\vec{a}.\vec{b}$ + $\vec{b}^{2}$
$|\vec{a} - \vec{b}|^{2}$ = $(\vec{a} - \vec{b})^{2}$ = $\vec{a}^{2}$ - 2$\vec{a}.\vec{b}$ + $\vec{b}^{2}$
Để |$\vec{a}$ + $\vec{b}$| = |$\vec{a}$ - $\vec{b}$| thì 2$\vec{a}.\vec{b}$ = 0
Vậy trong trường hợp $\vec{a}$. $\vec{b}$ = 0 (tức là $\vec{a}$ $\perp$ $\vec{b}$) thì |$\vec{a}$ + $\vec{b}$| = |$\vec{a}$ - $\vec{b}$|.
