Câu 4: Trang 75 sách VNEN 8 tập 2
Cho hình bình hành ABCD (h.47) có độ dài các cạnh AB = 12cm, BC = 6cm. Trên cạnh AB lấy một điểm E sao cho BE = 4cm. Đường thẳng DE cắt cạnh CB kéo dài tại F.
a) Trong hình vẽ đã cho có bao nhiêu cặp tam giác đồng dạng với nhau? Hãy viết các cặp tam giác đông dạng với nhau theo các đỉnh tương ứng.
b) Tính độ dài các đoạn thẳng CF và BF.
c) Gọi I là giao điểm của AC và DE. Tính tỉ số $\frac{IA}{IC}$.
d) Chứng minh rằng: FD.EA = DC.DE.
e) Chứng minh rằng: $DI^{2}$ = IE.IF
Bài Làm:
a) Các cặp tam giác đông dạng là: $\Delta $ EAD và $\Delta $ EBF, $\Delta $ FEB và $\Delta $ FDC, $\Delta $ DAE và $\Delta $FCD.
b) AE = AB - EB = 12 - 4 = 8cm.
ABCD là hình bình hành nên AD = BC = 6cm
Ta có: $\Delta $ EAD và $\Delta $ EBF nên $\frac{EA}{EB}$ = $\frac{AD}{BF}$ $\Leftrightarrow $ $\frac{8}{4}$ = $\frac{6}{BF}$ $\Leftrightarrow $ BF = 3cm.
CF = CB + BF = 6 + 3 = 9cm.
c) $\Delta $ IAD và $\Delta $ ICF có $\widehat{IAD}$ = $\widehat{ICD}$; $\widehat{IDA}$ = $\widehat{IFC}$ (so le trong) nên $\Delta $ IAD $\sim $và $\Delta $ ICF
$\Rightarrow $ $\frac{IA}{IC}$ = $\frac{AD}{CF}$ = $\frac{2}{3}$
d) Ta có: $\Delta $ DAE $\sim $ $\Delta $ FCD nên
$\frac{DE}{FD}$ = $\frac{EA}{DC}$ $\Leftrightarrow $ FD.EA = DC.DE
e) $\Delta $ IAD $\sim $ $\Delta $ ICF nên $\frac{DI}{IF}$ = $\frac{AD}{FC}$ = $\frac{6}{9}$ = $\frac{2}{3}$
$\Delta $ IAE $\sim $ $\Delta $ ICD nên $\frac{IE}{DI}$ = $\frac{AE}{DC}$ = $\frac{8}{12}$ = $\frac{2}{3}$
$\Rightarrow $ $\frac{DI}{IF}$ = $\frac{IE}{DI}$ $\Leftrightarrow $ $DI^{2}$ = IE.IF.