Câu 32: trang 23 sgk toán lớp 9 tập 2
Hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn (không có nước) thì sau $4\frac{4}{5}$giờ đầy bể. Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và sau 9 giờ mới mở thêm vòi thứ hai thì sau $\frac{6}{5}$giờ nữa mới đầy bể. Hỏi nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ hai thì sau bao lâu đầy bể?
Bài Làm:
Gọi x (giờ) là thời gian để vòi thứ nhất chảy đầy bể $(x>0)$
y (giờ) là thời gian để vòi thứ hai chảy đầy bể $(y>0)$
Trong 1 giờ vòi thứ nhất chảy được $\frac{1}{x}$bể, vòi thứ hai chảy được $\frac{1}{y}$bể.
Cả hai vòi cùng chảy thì bể đầy sau $4\frac{4}{5}=\frac{24}{5}$giờ nên trong 1 giờ cả hai vòi cùng chảy được $\frac{5}{24}$bể.
Ta được phương trình $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{24}$(1)
Trong 9 giờ cả vòi một chảy được $\frac{9}{x}$bể.
Trong $\frac{6}{5}$giờ cả hai vòi chảy được $\frac{6}{5}\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right )$ bể.
Theo đề bài vòi thứ nhất chảy 9h sau mở vòi hai thì sau $\frac{6}{5}$ giờ thì đầy bể nên ta có phương trình:
$\frac{9}{x}+\frac{6}{5}\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right )=1\Leftrightarrow 9.\frac{1}{x}+\frac{6}{5}.\frac{1}{x}+\frac{6}{5}.\frac{1}{y}=1$
$\Leftrightarrow \frac{51}{5}.\frac{1}{x}+\frac{6}{5}.\frac{1}{y}=1$
Từ (1) và (2) ta được hệ phương trình sau:
$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{24} & \\ \frac{51}{5}.\frac{1}{x}+\frac{6}{5}.\frac{1}{y}=1 & \end{matrix}\right.$
Đặt $\frac{1}{x}=u;\frac{1}{y}=v$
Ta có hệ mới tương đương với hệ phương trình ban đầu là:
$\left\{\begin{matrix}u+v=\frac{5}{24} & \\ \frac{51}{5}u+\frac{6}{5}v=1 & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u=\frac{5}{24}-v & \\ \frac{51}{5}u+\frac{6}{5}v=1 & \end{matrix}\right.$
Áp dụng quy tắc thế ta được:
$\left\{\begin{matrix}u=\frac{5}{24}-v & \\ \frac{51}{5}\left ( \frac{5}{24}-v \right )+\frac{6}{5}v=1 & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u=\frac{5}{24}-v & \\ \frac{51}{24}-\frac{51}{5}v+\frac{6}{5}v=1 & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u=\frac{5}{24}-v & \\ \frac{45}{5}v=\frac{51}{24}-1 & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u=\frac{5}{24}-v & \\ 9v=\frac{27}{24} & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u=\frac{5}{24}-v & \\ v=\frac{1}{8} & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u=\frac{5}{24}-\frac{1}{8} & \\ v=\frac{1}{8} & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u=\frac{2}{24} & \\ v=\frac{1}{8} & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u=\frac{1}{12} & \\ v=\frac{1}{8} & \end{matrix}\right.$
Ta có: $\frac{1}{x}=u\Leftrightarrow \frac{1}{x}=\frac{1}{12}\Leftrightarrow x=12$
Ta có: $\frac{1}{y}=v\Leftrightarrow \frac{1}{y}=\frac{1}{8}\Leftrightarrow x=8$
Vậy nếu từ đầu chỉ mở vòi thứ hai thì sau 8 giờ thì đầy bể.