Bài tập 3. Một công ty dự định sản xuất hai loại sản phẩm A và B. Các sản phẩm này được chế tạo từ ba loại nguyên liệu I, II và III. Số kilogam dự trữ từng loại nguyên liệu và số kilogam từng loại nguyên liệu cần dùng để sản xuất ra 1 kg sản phẩm được cho trong bảng sau:
|
Loại nguyên liệu |
Số kilogam nguyên liệu dự trữ |
Số kilogam nguyên liệu cần dùng sản xuất 1kg sản phẩm |
|
|
A |
B |
||
|
I |
8 |
2 |
1 |
|
II |
24 |
4 |
4 |
|
III |
8 |
1 |
2 |
Công ty đó nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm mỗi loại để tiền lãi thu về lớn nhất? Biết rằng, mỗi kilogam sản phẩm loại A lãi 30 triệu đồng, mỗi kilogam sản phẩm loại B lãi 50 triệu đồng.
Bài Làm:
Gọi x là số kilogam sản phẩm loại A sản xuất được và y là số kilogam sản phẩm loại B.
Theo bài ra ta có hệ bất phương trình:
$\left\{\begin{matrix}2x + y \leq 8\\ 4x + 4y \leq 24\\ x + 2y \leq 8\\ x \geq 0\\ y \leq 0\end{matrix}\right.$ <=> $\left\{\begin{matrix}2x + y \leq 8\\ x + y \leq 6\\ x + 2y \leq 8\\ x \geq 0\\ y \leq 0\end{matrix}\right.$
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên hệ trục tọa độ Oxy ta được như sau:
Ta có B là giao điểm của hai đường thẳng 2x + y = 8 và x + 2y = 8 => B($\frac{8}{3}$; $\frac{8}{3}$)
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác OABC với các đỉnh O(0; 0); A(0; 4); B($\frac{8}{3}$; $\frac{8}{3}$); C(4;0).
Gọi F là số tiền lãi (triệu đồng) thu được, ta có: F = 30x + 50y.
Tính giá trị của F tại các đỉnh của tứ giác:
- Tại O(0;0): F = 0
- Tại A(0; 4): F = 30. 0 + 50. 4 = 200
- Tại B($\frac{8}{3}$;$\frac{8}{3}$): F = 30. $\frac{8}{3}$ + 50. $\frac{8}{3}$ $\approx$ 213,3
- Tại C(4; 0): F = 30. 4 + 50. 0 = 120
F đạt giá trị lớn nhất bằng 213,3 tại B($\frac{8}{3}$; $\frac{8}{3}$).
Vậy cần sản xuất mỗi loại $\frac{8}{3}$ kg để tiền lãi thu về lớn nhất.