2. a, Sử dụng kết quả của hoạt động 2a, chứng minh rằng: Với góc nhọn $\alpha $ tùy ý, ta có
$1+tan^{2}\alpha =\frac{1}{cos^{2}\alpha }$ ; $1+cot^{2}\alpha =\frac{1}{sin^{2}\alpha }$
b, Tính các tỉ số lượng giác của góc B, biết rằng cosB = 0,6.
c, Cho $tan\alpha =\frac{1}{2}$. Tính $A=\frac{cos\alpha +sin\alpha }{cos\alpha -sin\alpha }$ theo ba cách:
Cách 1: Từ $tan\alpha =\frac{1}{2}$, tính các tỉ số $sin\alpha $ và $cos\alpha $ rồi thay vào biểu thức A.
Cách 2: Từ $tan\alpha =\frac{1}{2}$, biểu thị $sin\alpha $ theo $cos\alpha $, thay vào biểu thức A rồi rút gọn.
Cách 3: Biến đổi biểu thức $A=\frac{cos\alpha +sin\alpha }{cos\alpha -sin\alpha }$ theo $tan\alpha $ rồi thay $tan\alpha =\frac{1}{2}$.
d, Sử dụng két quả của hoạt động 2a, 2b, tính nhanh các giá trị biểu thức sau:
$A=sin^{2}25^{0}+sin^{2}35^{0}+sin^{2}45^{0}+sin^{2}55^{0}+sin^{2}65^{0}$
$A=cos^{2}25^{0}-cos^{2}35^{0}+cos^{2}45^{0}-cos^{2}55^{0}+cos^{2}65^{0}$
Bài Làm:
a, $1+tan^{2}\alpha =1+\frac{sin^{2}\alpha }{cos^{2}\alpha }=\frac{cos^{2}\alpha +sin^{2}\alpha }{cos^{2}\alpha }=\frac{1}{cos^{2}\alpha }$
$1+cot^{2}\alpha =1+\frac{cos^{2}\alpha }{sin^{2}\alpha }=\frac{cos^{2}\alpha +sin^{2}\alpha }{sin^{2}\alpha }=\frac{1}{sin^{2}\alpha }$
b, $cos^{2}B+sin^{2}B=1$
=> sinB = $\sqrt{1-cos^{2}B}=\sqrt{1-0,6^{2}}=0,8$
$1+tan^{2}B=\frac{1}{cos^{2}B}$ => $tan^{2}B=\frac{1}{cos^{2}B}-1=\frac{16}{9}$
=> tan B = $\frac{4}{3}$
$1+cot^{2}B=\frac{1}{sin^{2}B}$ => $cot^{2}B=\frac{1}{sin^{2}B}-1=0,5625$
=> cot B = 0,75
c, Cách 1: Thay $tan\alpha =\frac{1}{2}$ vào biểu thức $1+tan^{2}\alpha =\frac{1}{cos^{2}\alpha }$ => $cos\alpha =\frac{2\sqrt{5}}{5}$
Mặt khác:
$tan\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }=\frac{1}{2}$ => $sin\alpha =\frac{\sqrt{5}}{5}$
Thay $sin\alpha =\frac{\sqrt{5}}{5}$ và $cos\alpha =\frac{2\sqrt{5}}{5}$ vào biểu thức A ta có:
$A=\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}+\frac{\sqrt{5}}{5}}{\frac{2\sqrt{5}}{5}-\frac{\sqrt{5}}{5}}=3$
Cách 2: $tan\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }=\frac{1}{2}$ => $2sin\alpha =cos\alpha $
Thay vào A ta có:
$A=\frac{2sin\alpha +sin\alpha }{2sin\alpha -sin\alpha }=3$
Cách 3:
$A=\frac{cos\alpha +sin\alpha }{cos\alpha -sin\alpha }=\frac{1 +s\frac{sin\alpha }{cos\alpha }}{1-\frac{sin\alpha }{cos\alpha }}=\frac{1 +tan\alpha }{1 -tan\alpha }$
Thay $tan\alpha =\frac{1}{2}$ vào ta có:
$A=\frac{1 +tan\alpha }{1 -tan\alpha }=\frac{1 +\frac{1}{2}}{1 -\frac{1}{2}}=3$
d, Ta có: $sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha =1$ và $sin\alpha =cos90^{0}-\alpha $
- $A=sin^{2}25^{0}+sin^{2}35^{0}+sin^{2}45^{0}+sin^{2}55^{0}+sin^{2}65^{0}$
<=> $A=cos^{2}65^{0}+cos^{2}55^{0}+sin^{2}45^{0}+sin^{2}55^{0}+sin^{2}65^{0}$
<=>$A=1+1+sin^{2}45^{0}=2+\left ( \frac{\sqrt{2}}{2} \right )^{2}=\frac{5}{2}$
- $A=cos^{2}25^{0}-cos^{2}35^{0}+cos^{2}45^{0}-cos^{2}55^{0}+cos^{2}65^{0}$
<=> $A=sin^{2}65^{0}-sin^{2}55^{0}+cos^{2}45^{0}-cos^{2}55^{0}+cos^{2}65^{0}$
<=> $A=1-1+cos^{2}45^{0}=\left ( \frac{\sqrt{2}}{2} \right )^{2}=\frac{1}{2}$
