D. Hoạt động vận dụng
Câu 1: Trang 152 sách toán VNEN lớp 7 tập 1
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M, trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho BM = CN.
a) Chứng minh rằng AM = AN.
b) Kẻ BH vuông góc với AM (H thuộc AM), kẻ CK vuông góc với AN (K thuộc AN). Chứng minh HM = KN;
c) Chứng minh $\bigtriangleup BHA = \bigtriangleup CKA$;
d) Gọi O là giao điểm của BH và CK. Hỏi $\bigtriangleup OBC$ là tam giác gì? Vì sao?
e) Khi $\widehat{A} = 60^{\circ}$ và BM = CN = BC, hãy tính số đo các góc của tam giác AMN và cho biết OBC là tam giác gì.
f) Chứng minh rằng AO $\perp $ BC.
Bài Làm:
a) Xét $\bigtriangleup ABM$ và $\bigtriangleup ACN$ có:
AB = AC (giả thiết);
$\widehat{ABM} = \widehat{ACN}$ (hai góc kề bù với hai góc bằng nhau);
BM = CN (giả thiết);
$\Rightarrow $ $\bigtriangleup ABM = \bigtriangleup ACN$ (c.g.c)
$\Rightarrow $ AM = AN (hai cạnh tương ứng).
b) Xét $\bigtriangleup HBM$ và $\bigtriangleup KCN$ vuông tại H và K có:
BM = CN (giả thiết);
$\widehat{BMH} = \widehat{CNK}$ (hai góc tương ứng);
$\Rightarrow $ $\bigtriangleup HBM = \bigtriangleup KCN$ (cạnh huyền – góc nhọn);
$\Rightarrow $ HM = KN (hai cạnh tương ứng);
c) Xét $\bigtriangleup HBA$ và $\bigtriangleup KCA$ vuông tại H và K có:
AB = AC (giả thiết);
AH = AK (hiệu của những đoạn thẳng bằng nhau);
$\Rightarrow $ $\bigtriangleup HBA = \bigtriangleup KCA$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông);
d)
$\bigtriangleup HBM = \bigtriangleup KCN$ (câu b) $\Rightarrow $ $\widehat{HBM} = \widehat{KCN}$ (hai góc tương ứng).
Lại có:
+$\widehat{HBM} = \widehat{CBO}$ (hai góc đối đỉnh);
+$\widehat{KCN} = \widehat{BCO}$ (hai góc đối đỉnh);
$\Rightarrow $ $\widehat{CBO} = \widehat{CBO}$.
$\Rightarrow $ $\bigtriangleup OBC$ là tam giác cân tại O.
e)
Tính số đo các góc của $\bigtriangleup AMN$:
Khi $\widehat{A} = 60^{\circ}$ thì $\bigtriangleup ABC$ là tam giác đều.
$\Rightarrow $ $\widehat{ABM} = \widehat{ACN} = 120^{\circ}$ (các góc kề bù với các góc có số đo là $60^{\circ}$.
Khi BM = CN = BC thì $\bigtriangleup ABM$ và $\bigtriangleup ACN$ là các tam giác cân tại B và C có góc ở đỉnh là $120^\circ$
Mặt khác: Theo câu a) $\bigtriangleup AMN$ cân tại M.
$\Rightarrow $ $\widehat{AMN} = \widehat{ANM} = \frac{180^{\circ} – 120^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$.
Số đo $\widehat{MAN}$ là: $180^{\circ} – 2\times 30^{\circ} = 120^{\circ}$.
$\bigtriangleup OBC$ là tam giác cân (theo câu d) có $\widehat{CBO} = \widehat{HBM} = 90^{\circ} – 30^{\circ} = 60^{\circ}$ nên là tam giác đều.
f) Gọi I là giao điểm của AO và BC.
Xét $\bigtriangleup AOH$ và $\bigtriangleup AOK$ vuông tại H và K có:
AO chung;
AH = AK (theo phần c: $\bigtriangleup HBA = \bigtriangleup KCA$);
$\Rightarrow $ $\bigtriangleup AOH = \bigtriangleup AOK$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông);
$\Rightarrow $ $\widehat{HAO} = \widehat{KAO}$ (hai góc tương ứng) hay $\widehat{IAB} = \widehat{IAC}$.
Xét $\bigtriangleup ABI$ và $\bigtriangleup ACI$ có:
AB = AC (giả thiết);
$\widehat{IAB} = \widehat{IAC}$ (cmt);
AI chung;
$\Rightarrow $ $\bigtriangleup ABI = \bigtriangleup ACI$ (c.g.c)
$\Rightarrow $ $\widehat{AIB} = \widehat{AIC}$ (hai góc tương ứng).
Mà $\widehat{AIB}$ và $\widehat{AIC}$ là hai góc kề bù.
$\Rightarrow $ $\widehat{AIB} = \widehat{AIC} = 180^{\circ} : 2 = 90^{\circ}$.
Hay AO $\perp $ BC.