Bài tập 4.18 trang 55 SBT toán 8 tập 1 kết nối:
Cho hình bình hành ABCD, điểm E thuộc cạnh AB (E khác A và B), điểm F thuộc cạnh AD (F khác A và D). Đường thẳng qua D song song với EF cắt AC tại I. Đường thẳng qua B song song với EF cắt AC tại K.
a) Chứng minh rằng: AI = CK.
b) Gọi N là giao điểm của EF và AC. Chứng minh rằng: $\frac{AB}{AE}+\frac{AD}{AF}=\frac{AC}{AN}$
Bài Làm:
a) Ta có DI // EF và BK // EF nên EF // DI // BK
Do DI // BK nên $\widehat{CID}=\widehat{AKB}$ (hai góc so le trong)
mà $\widehat{AID}+\widehat{CID}=180^{o}$ ; $\widehat{CKB}+\widehat{AKB}=180^{o}$
=> $\widehat{AID}=\widehat{CKB}$ (1)
Do ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD // BC
Suy ra $\widehat{DAC}=\widehat{BCA}$ (so le trong) hay $\widehat{DAI}=\widehat{BCK}$ (2)
Ta có: $\widehat{AID}+\widehat{DAI}+\widehat{ADI}=180^{o}$ (3)
$\widehat{CKB}+\widehat{BCK}+\widehat{CBK}=180^{o}$ (4)
Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra $\widehat{ADI}=\widehat{CBK}$
Xét ADI và CBK có:
AD = BC (cmt)
Do đó DADI = DCBK (g.c.g)
Suy ra AI = CK (hai cạnh tương ứng).
b) Trong ∆ABK có NE // BK nên
$\frac{AB}{AE}=\frac{AK}{AN}$ (định lí Thalès).
Trong ∆ADI có FN // DI nên $\frac{AD}{AF}=\frac{AI}{AN}$ (định lí Thalès),
Mà AI = CK (câu a) nên $\frac{AD}{AF}=\frac{CK}{AN}$
=> $\frac{AB}{AE}+\frac{AD}{AF}=\frac{AC}{AN}$
