Bài tập 4.16 trang 55 SBT toán 8 tập 1 kết nối:
Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD, CE. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BE, CD. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của MN với BD và CE. Chứng minh MI = IK = KN.
Bài Làm:
Trong ∆ABC có các đường trung tuyến BD, CE nên D là trung điểm của AC, E là trung điểm của AB nên ED là đường trung bình của ∆ABC
=> $ED=\frac{1}{2}BC$ và ED // BC (tính chất đường trung bình của tam giác)
Ta có: E là trung điểm của AB nên $AE=EB=\frac{1}{2}AB$
Mà M là trung điểm của EB nên $EM=MB=\frac{1}{2}EB=\frac{1}{4}AB$
hay $\frac{MB}{AB}=\frac{1}{4}$
Tương tự, ta cũng có $NC=\frac{1}{4}AC$ hay $\frac{NC}{AC}=\frac{1}{4}$
=> $\frac{MB}{AB}=\frac{NC}{AC}$
Xét DABC có $\frac{MB}{AB}=\frac{NC}{AC}$ nên MN // BC (định lí Thalès đảo)
Lại có ED // BC nên ED // MN // BC.
Xét DBDE có M là trung điểm của EB và MI // ED (do ED // MN)
Suy ra I là trung điểm của BD hay IB = ID
Khi đó MI là đường trung bình của DBDE nên $MI=\frac{1}{2}ED$
Tương tự, trong DCDE ta cũng có $KN=\frac{1}{2}ED$ trong DBCE có $MK=\frac{1}{2}BC$
Ta có: IK=MK-MI= $\frac{1}{2}BC-\frac{1}{2}ED=ED-\frac{1}{2}ED=\frac{1}{2}ED$
=> MI=IK=KN= $\frac{1}{2}ED$
