Bài tập 7.35. Cho elip (E): $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$.
a. Tìm các giao điểm A1, A2 của (E) với trục hoành và các giao điểm B1, B2 của (E) với trục tung. Tính A1A2 , B1B2.
b. Xét một điểm bất kì M(x0,y0) thuộc (E).
Chứng minh rằng, $b^{2}\leq x_{0}^{2}+y_{0}^{2}\leq a^{2}$ và $b\leq OM\leq a$.
Bài Làm:
a.
- A1 thuộc trục hoành nên y = 0 $\Rightarrow$ $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{0^{2}}{b^{2}}=1$
$\Leftrightarrow$ x2 = a2.
- Chọn A1 nằm bên trái trục Oy nên có hoành độ âm. Vậy tọa độ A1(-a; 0)
- Chọn A2 nằm bên phải trục Oy nên có hoành độ dương. Vậy tọa độ A2(a; 0)
$\Rightarrow$ Độ dài A1A2 = 2a
- B1 thuộc trục tung nên x = 0 $\Rightarrow$ $\frac{0^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
$\Leftrightarrow$ y2 = b2.
- Chọn B1 nằm phía dưới trục Ox nên có tung độ âm. Vậy tọa độ B1(0; -b)
- Chọn B2 nằm phía trên trục Ox nên có tung độ dương. Vậy tọa độ B2(0; b)
$\Rightarrow$ Độ dài B1B2 = 2b.
b.
- Giả sử $b^{2}\leq x_{0}^{2}+y_{0}^{2}$, chia cả hai vế cho b2 > 0 ta có:
$\Rightarrow 1\leq \frac{x_{0}^{2}}{b^{2}}+\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}\\\Leftrightarrow \frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}\leq \frac{x_{0}^{2}}{b^{2}}+\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}\\\Leftrightarrow \frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}\leq \frac{x_{0}^{2}}{b^{2}}$
Luôn đúng vì a > b > 0.
Vậy $b^{2}\leq x_{0}^{2}+y_{0}^{2}$
Chứng minh tương tự có $x_{0}^{2}+y_{0}^{2}\leq a^{2}$
Vậy $b^{2}\leq x_{0}^{2}+y_{0}^{2}\leq a^{2}$
- Theo chứng minh trên có: $b^{2}\leq x_{0}^{2}+y_{0}^{2}\leq a^{2}$
$\Rightarrow$ $b\leq \sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}\leq a$
Mà OM = $\sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}$
Vậy $b\leq OM\leq a$.
