1. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG
Hoạt động 1: Cho vecto $\overrightarrow{n}\neq \overrightarrow{0}$ và điểm A. Tìm tập hợp những điểm M sao cho $\overrightarrow{AM}$ vuông góc với $\overrightarrow{n}$.
Hướng dẫn giải:
M nằm trên đường thẳng đi qua A và vuông góc với giá của vecto $\overrightarrow{n}$.
Hoạt động 2: Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm A$(x_{o};y_{o})$ và có vecto pháp tuyển $\overrightarrow{n}(a;b)$. Chứng minh rằng điểm M(x; y) thuộc $\Delta $ khi và chỉ khi
$a(x-x_{o})+b(y-y_{o})=0$
Hướng dẫn giải:
- Giả sử M thuộc $\Delta $, ta chứng minh $a(x-x_{o})+b(y-y_{o})=0$
Thật vậy: Nếu M thuộc $\Delta $ thì $\overrightarrow{AM}\perp \overrightarrow{n}$
Có $\overrightarrow{AM}(x-x_{o}; y-y_{o})$
Suy ra: $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}=0$
$\Leftrightarrow $ $a(x-x_{o})+b(y-y_{o})=0$.
- Giả sử $a(x-x_{o})+b(y-y_{o})=0$, ta chứng minh M thuộc $\Delta $
Thật vậy: Nếu $a(x-x_{o})+b(y-y_{o})=0$ thì $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}=0$
Suy ra M thuộc đường thẳng đi qua A và vuông góc với giá của vecto $\overrightarrow{n}$.
Vậy M thuộc $\Delta $.
Luyện tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác có ba đỉnh A(-1; 5), B(2; 3), C(6; 1). Lập phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ A của tam giác ABC.
Hướng dẫn giải:
Đường cao kẻ từ A của tam giác ABC nhận vecto $\overrightarrow{BC}$ làm vecto pháp tuyến.
$\overrightarrow{BC}(4; -2)$
Đường cao kẻ từ A của tam giác ABC có phương trình là:
4(x +1) - 2(y-5) = 0 hay 4x -2y +14 = 0.
Luyện tập 2: Hãy chỉ ra một vecto pháp tuyến của đường thẳng $\Delta $: y = 3x + 4.
Hướng dẫn giải:
Một vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{n}(3; -1)$
2. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG
Hoạt động 3: Trong Hình 7.2a, nếu một vật thể chuyển động với vecto vận tốc bằng $\overrightarrow{v}$ và đi qua A thì nó di chuyển trên đường nào?
Hướng dẫn giải:
Di chuyển trên đường thẳng $\Delta_{2} $
Luyện tập 3: Hãy chỉ ra một vecto chỉ phương của đường thẳng $\Delta $: 2x - y +1 = 0
Hướng dẫn giải:
$\Delta $ có một vecto pháp tuyến là: $\overrightarrow{n}(2; -1)$
$\Rightarrow$ một vecto chỉ phương là: $\overrightarrow{u}(1; 2)$
Hoạt động 4: Chuyển động của một vật thể được thể hiện trên mặt phẳng Oxy. Vật thể khởi hành từ A(2; 1) và chuyển động thẳng đều với vecto vận tốc $\overrightarrow{v}(3; 4)$.
a. Hỏi vật thể chuyển động trên đường thẳng nào (chỉ ra điểm đi qua và vecto chỉ phương của đường thẳng đó)?
b. Chứng minh rằng, tại thời điểm t (t > 0) tính từ khi khởi hành, vật thể ở vị trí có tọa độ là (2+3t; 1 +4t).
Hướng dẫn giải:
a. Vật chuyên động trên đường thẳng đi qua A và song song với giá của vecto $\overrightarrow{v}(3; 4)$. Hay đường thẳng qua A và có vecto chỉ phương là $\overrightarrow{v}(3; 4)$.
b. Gọi tại thời điểm t vật ở điểm B(x; y).
Ta có: $\overrightarrow{AB} = t.\overrightarrow{v}$
$\Rightarrow$ $\left\{\begin{matrix}x-2=t.3\\ y-1=t.4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=2+3t\\ y=1+4t\end{matrix}\right.$
$\Rightarrow$ tọa độ B((2+3t; 1 +4t) là vị trí của vật.
Luyện tập 4: Lập phương trình tham số của đường thẳng $\Delta $ đi qua điểm M(-1; 2) và song song với đường thẳng d: 3x - 4y -1 = 0.
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng $\Delta $ song song với d: 3x - 4y -1 = 0.
$\Rightarrow$ $\Delta $ có vecto pháp tuyển: $\overrightarrow{n}(3; -4)$
$\Rightarrow$ $\Delta $ có vecto chỉ phương: $\overrightarrow{u}(4; 3)$
Phương trình tham số của $\Delta $ là:
$\left\{\begin{matrix}x=-1+4t\\ y=2+3t\end{matrix}\right.$
Luyện tập 5: Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt $A(x_{1}; y_{1}), B(x_{2}; y_{2})$ cho trước.
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng có vecto chỉ phương $\overrightarrow{AB}(x_{2}-x_{1};y_{2}-y_{1})$
- Phương trình tham số của đường thẳng là:
$\left\{\begin{matrix}x=x_{1}+(x_{2}-x_{1})t\\ y=y_{1}+(y_{2}-y_{1})t\end{matrix}\right.$
- Đường thẳng có vecto pháp tuyến là: $\overrightarrow{n}(y_{1}-y_{2};x_{2}-x_{1})$
Phương trình tổng quát của đường thẳng là:
$(y_{1}-y_{2})(x-x_{1}) + (x_{2}-x_{1})(y - y_{1})=0$
Vận dụng: Việc quy đổi nhiệt độ giữa đơn vị độ C và đơn vị độ F được xác định bởi hai mốc sau:
- Nước đóng băng ở 0oC, 32oF;
- Nước sôi ở 100oC, 212oF.
Trong quy đổi đó, nếu aoC tương ứng với boF thì trên mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm M(a; b) thuộc đường thẳng đi qua A(0; 32) và B(100; 212).
Hỏi 0oF, 100oF tương ứng với bao nhiêu độ C?
Hướng dẫn giải:
- Viết phương trình đường thẳng qua A và B.
Đường thẳng AB có vecto chỉ phương: $\overrightarrow{AB}(100; 180)$
$\Rightarrow$ chọn vecto chỉ phương $\overrightarrow{u}(5; 9)$
Phương trình tham số của đường thẳng AB:
$\left\{\begin{matrix}x=5t\\ y=32+9t\end{matrix}\right.$
- Nếu y = 0 thì x = $\frac{-160}{9}\approx -17, 78$
- Nếu y = 100 thì x = $\frac{340}{9}\approx 37, 78$
Vậy 0oF, 100oF lần lượt tương ứng với -17,78 và 37,78 độ C
Bài tập & Lời giải
Bài tập 7.1. Trong mặt phẳng tọa độ cho $\overrightarrow{n}(2;1), \overrightarrow{v}(3; 2), A(1; 3), B(-2; 1)$
a. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta _{1}$ đi qua A và có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n}$.
b. Lập phương trình tham số của đường thẳng $\Delta _{2}$ đi qua B và có vecto chỉ phương $\overrightarrow{v}$.
c. Lập phương trình tham số của đường thẳng AB.
Xem lời giải
Bài tập 7.2. Lập phương trình tổng quát của các trục tọa độ
Xem lời giải
Bài tập 7.3. Cho hai đường thẳng $\Delta _{1}:\left\{\begin{matrix}x=1+2t\\ y=3+5t\end{matrix}\right.$ và 2x + 3y - 5 = 0.
a. Lập phương trình tổng quát của $\Delta _{1}$
b. Lập phương trình tham số của $\Delta _{2}$
Xem lời giải
Bài tập 7.4. Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có A(1; 2), B(3; 0) và C(-2; -1).
a. Lập phương trình đường cao kẻ từ A.
b. Lập phương trình đường trung tuyến kẻ từ B.
Xem lời giải
Bài tập 7.5. (Phương trình đoạn chắn của đường thẳng)
Chứng minh rằng, đường thẳng đi qua hai điểm A(a; 0) và B(0; b) với ab $\neq $ 0 có phương trình là
$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$
Xem lời giải
Bài tập 7.6. Theo Google Maps, sân bay Nội Bài có vĩ độ 21,2o Bắc, kinh độ 105,8o Đông, sân bay Đà Nẵng có vĩ độ 16,1o Bắc, kinh độ 108,2o Đông. Một máy bay, bay từ Nội Bài đến sân bay Đà Nẵng. Tại thời điểm t giờ, tính từ lúc xuất phát, máy bay ở vị trí có vĩ độ xo Bắc, kinh độ yo Đông được tính theo công thức
$\left\{\begin{matrix}x=21,2-\frac{153}{40}t\\ y=105,8+\frac{9}{5}t\end{matrix}\right.$
a. Hỏi chuyến bay từ Hà Nội đến Đà Nẵng mất mấy giờ?
b. Tại thời điểm 1 giờ kể từ lúc cất cánh, máy bay đã bay qua vĩ tuyến 17 (17o Bắc) chưa?