Giải bài 16 Hàm số bậc hai

1. KHÁI NIỆM HÀM SỐ BẬC HAI

Hoạt động 1: Xét bài toán rào vườn ở tình huống mở đầu. Gọi x mét (0 < x < 10) là khoảng cách từ điểm cắm cọc đến bờ tường. Hãy tính theo x:

a. Độ dài cạnh PQ của mảnh đất.

b. Diện tích S(x) của mảnh đất được rào chắn.

Hướng dẫn giải:

a. PQ = 20 - 2x

b. Diện tích của mảnh đất: S(x) = x.(20 - 2x) = $-2x^{2}+20x$

Câu hỏi: Hàm số nào dưới đây là hàm số bậc hai?

A. $y = x^{4}+3x^{2}+2$

B. $y=\frac{1}{x^{2}}$

C. $y=-3x^{2}+1$

D. $y = 3\left ( \frac{1}{x} \right )^{2}+3\frac{1}{x}-1$

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Luyện tập 1: Cho hàm số y = (x -1)(2 - 3x)

a. Hàm số đã cho có phải là hàm số bậc hai không? Nếu có, hãy xác định các hệ số a, b, c của nó.

b. Thay dấu ? bằng các số thích hợp để hoàn thành bảng giá trị sau của hàm số đã cho.

Hướng dẫn giải:

a. ta có: y = (x -1)(2 - 3x) = $-3x^{2}+5x-3$

Hàm số có là hàm bậc hai: a = -3, b = 5, c = 3.

b.

Vận dụng 1: Một viên bi rơi tự do từ độ cao 19,6 m xuống mặt đất. Độ cao h (mét) so với mặt đất của viên bi trong khi rơi phụ thuộc vào thời gian t (giấy) theo công thức: h = $19,6-4,9t^{2}$; $h, t\geq 0$.

a. Hỏi sau bao nhiêu giây kể từ khi rơi viên bi chạm đất?

b. Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số h.

Hướng dẫn giải:

a. Viên bị chạm đất khi h = 0

Hay $19,6-4,9t^{2}=0$

$\Leftrightarrow 4,9t^{2}=19,6\\\Leftrightarrow t^{2}=4\\\Rightarrow t=2$ (do $t\geq 0$.)

Vậy sau 2 giây kể từ khi rơi viên bi chạm đất.

b. Tập xác định: D = $[0; +\infty )$

Ta có: $t^{2}\geq 0\Rightarrow 19,6-4,9t^{2}\leq 19,6$

Tập giá trị: $[0;19,6]$.

2. ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ BẬC HAI

Hoạt động 2: Xét hàm số $y = S(x)=-2x^{2}+20x(0<x<10)$

a. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, biểu diến tọa độ các điểm trong bảng giá trị của hàm số lập được ở Ví dụ 1. Nối các điểm đã vẽ lại ta được dạng đồ thị hàm số $y = S(x)=-2x^{2}+20x$ trên khoảng (0;10) như trong hình 6.10. Dạng đồ thị của hàm số $y = S(x)=-2x^{2}+20x$ có giống với đồ thị của hàm số $y = S(x)=-2x^{2}$ hay không?

b. Quan sát dạng đồ thị của hàm số $y = S(x)=-2x^{2}+20x$ trong Hình 6.10, tìm tọa độ điểm cao nhất của đồ thị.

c. Thực hiện phép biến đổi
$y=-2x^{2}+20x=-2(x^{2}-10x)=-2(x^{2}-2.5.x+25)+50=-2(x-5)^{2}+50$

Hãy cho biết giá trị lớn nhất của diện tích mảnh đất được rào chắn. Từ đó suy ra lời giải của bài toán ở phần mở đầu.

Hướng dẫn giải:

a.  Dạng đồ thị của hàm số $y = S(x)=-2x^{2}+20x$ có giống với đồ thị của hàm số $y = S(x)=-2x^{2}$.

b. tọa độ điểm cao nhất: (5; 50)

c. Giá trị lớn nhất của y là 50 tại x = 5. 

Suy ra giá trị lớn nhất của diện tích mảnh đất là 50.

Vậy để diện tích mảnh đất lớn nhất thì hai cột góc rào pahir cách bờ tường 5 m.

Hoạt động 3: Tương tự Hoạt động 2, ta có dạng đồ thị của một số hàm số bậc hai sau:

Từ các đồ thị hàm số trên, hãy hoàn thành bảng sau đây:

Hướng dẫn giải:

Luyện tập 2: Vẽ parabol $y=3x^{2}-10x+7$. Từ đó tìm khoảng đồng biến, nghịch biến và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=3x^{2}-10x+7$.

Hướng dẫn giải:

• Tọa độ điểm đỉnh: $(\frac{5}{3};\frac{-4}{3})$
• Khoảng đồng biến: $(\frac{-4}{3};+\infty )$
• Khoảng nghịch biến: $(-\infty;\frac{-4}{3} )$

Vận dụng 2: Bạn Nam đứng dưới chân cầu vượt ba tầng ở nút giao ngã ba Huế, thuộc thành phố Đà Nẵng để ngắm cầu vượt. Biết rằng trụ tháp dạng đường parabol, khoảng cách giữa hai chân trụ tháp khoảng 27m, chiều cao của trụ tháp tính từ điểm trên mặt đất cách chân trụ tháp 2,26m là 20m. Hãy giúp bạn Nam ước lượng độ cao của đỉnh trụ tháp cầu (so với mặt đất).

Hướng dẫn giải:

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho một chân trụ tháp đặt tại gốc tọa độ, chân còn lại đặt trên tia Ox. Khi đó trụ tháp là một phần của đồ thị hàm số dạng $y = ax^{2}+bx$ (*) (do đồ thị hàm số đi qua O(0; 0)).

Đồ thị hàm số sẽ đi qua điểm có tọa độ (27; 0) và (2,26; 20), thay tọa độ vào hàm số (*) ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}0=a.27^{2}+b.27\\ 20=a.2,26^{2}+b.2,26\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a=\frac{-50000}{139781}\\ b=\frac{1350000}{139781}\end{matrix}\right.$

Ta có hàm số $y = \frac{-50000}{139781}x^{2}+\frac{1350000}{139781}x$

Tọa độ đỉnh của parabol là: $(\frac{27}{2}; \frac{9112500}{139781})$

Vậy độ cao của đỉnh trụ tháp cầu là khoảng $\frac{9112500}{139781} \approx 65,2$ mét.