Giải bài 20 Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách

1. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Hoạt động 1: Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đường thẳng

$\Delta _{1}$: x - 2y + 3 = 0,

$\Delta _{2}$: 3x - y - 1 = 0.

a. Điểm M(1; 2) có thuộc cả hai đường thẳng nói trên hay không?

b. Giải hệ $\left\{\begin{matrix}x-2y+3=0\\ 3x-y-1=0\end{matrix}\right.$

c. Chỉ ra mối quan hệ giữa tọa độ giao điểm của $\Delta _{1}$ và $\Delta _{2}$ với nghiệm của hệ phương trình trên.

Hướng dẫn giải:

a. Thay tọa độ điểm M vào hai phương trình $\Delta _{1}$, $\Delta _{2}$ đều thỏa mãn. Nên điểm M thuộc cả hai đường thẳng trên.

b. $\left\{\begin{matrix}x-2y+3=0\\ 3x-y-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=1\\ y=2\end{matrix}\right.$

Hệ phương trình có nghiệm x = 1, y = 2.

c. Tọa độ giao điểm của $\Delta _{1}$ và $\Delta _{2}$ trùng với nghiệm của hệ phương trình trên.

Luyện tập 1: Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:

a. $\Delta _{1}$: x + 4y - 3 = 0 và $\Delta _{2}$: x - 4y - 3 = 0;

b. $\Delta _{1}$: x + 2y - $\sqrt{5}$ = 0 và $\Delta _{2}$: 2x + 4y - $3\sqrt{5}$ = 0.

Hướng dẫn giải:

a. $\Delta _{1}$ có vecto pháp tuyển: $\overrightarrow{n_{1}}(1; 4)$

$\Delta _{2}$ có vecto pháp tuyển: $\overrightarrow{n_{2}}(1; -4)$

Ta có $\overrightarrow{n_{1}}$ và $\overrightarrow{n_{2}}$ không cùng phương, nên $\Delta _{1}$ và $\Delta _{2}$ cắt nhau.

b. $\Delta _{1}$ có vecto pháp tuyển: $\overrightarrow{n_{1}}(1; 2)$

$\Delta _{2}$ có vecto pháp tuyển: $\overrightarrow{n_{2}}(2; 4)$

Ta có $\overrightarrow{n_{1}}$ và $\overrightarrow{n_{2}}$ cùng phương nên $\Delta _{1}$ và $\Delta _{2}$ song song hoặc trùng nhau.

Ta có: x + 2y - $\sqrt{5}$ = 0 $\Leftrightarrow $  2x + 4y - $2\sqrt{5}$ = 0 

2x + 4y - $2\sqrt{5}$ $\neq $ 2x + 4y - $3\sqrt{5}$ nên $\Delta _{1}$ và $\Delta _{2}$ song song.

2. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Hoạt động 2: Hai đường thẳng $\Delta _{1}$ và $\Delta _{2}$ cắt nhau tạo thành bốn góc (H.7.6.) Các số đo của bốn góc đó có mối quan hệ gì với nhau?

Hướng dẫn giải:

Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau, nên bốn góc tạo nên 2 cặp góc đối đỉnh bẳng nhau.

Hoạt động 3: Cho hai đường thẳng cắt nhau $\Delta _{1}$ và $\Delta _{2}$ tương ứng có các vecto pháp tuyến 

$\overrightarrow{n_{1}}$, $\overrightarrow{n_{2}}$. Gọi $\varphi $ là góc giữa hai đường thẳng đó (H.7.7). Nêu mối quan hệ giữa:

a. Góc $\varphi $  và góc ($\overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}}$).

b. cos$\varphi $ và cos($\overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}}$).

Hướng dẫn giải:

a. Áp dụng tính chất tứ giác nội tiếp có $\varphi $ = ($\overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}}$).

(tính chất: trong tứ giác nội tiếp, góc trong bằng góc ngoài đối đỉnh với nó).

b. Theo a: $\varphi $ = ($\overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}}$)

Suy ra: cos$\varphi $ = cos($\overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}}$).

Luyện tập 2: Tính góc giữa hai đường thẳng:

$\Delta _{1}$: x + 3y + 2 = 0 và $\Delta _{2}$: y = 3x + 1

Hướng dẫn giải:

$\Delta _{1}$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n_{1}}(1; 3)$ 

$\Delta _{2}$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n_{2}}(3; -1)$ 

Gọi $\varphi $ là góc giữa hai đường thẳng $\Delta _{1}$ và $\Delta _{2}$, ta có:

$cos\varphi =\left | cos(\overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}})\right |=\frac{|1.3-1.3|}{\sqrt{1^{2}+3^{2}}.\sqrt{3^{2}+1^{2}}}=0$

Do đó góc giữa $\Delta _{1}$ và $\Delta _{2}$ là $\varphi =90^{o}$.

Luyện tập 3: Tính góc giữa hai đường thẳng: $\Delta _{1}:\left\{\begin{matrix}x=2+t\\ y=1-2t\end{matrix}\right.$ và $\Delta _{2}:\left\{\begin{matrix}x=1+t\\ y=5+3t\end{matrix}\right.$

Hướng dẫn giải:

$\Delta _{1}$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u_{1}}(1; -2)$ 

$\Delta _{2}$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u_{2}}(1; 3)$ 

Gọi $\varphi $ là góc giữa hai đường thẳng $\Delta _{1}$ và $\Delta _{2}$, ta có:

$cos\varphi =\left | cos(\overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}})\right |=\frac{|1.1-2.3|}{\sqrt{1^{2}+2^{2}}.\sqrt{1^{2}+3^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Do đó góc giữa $\Delta _{1}$ và $\Delta _{2}$ là $\varphi =45^{o}$.

Xét đường thẳng $\Delta$ bất kì  cắt trục hoành Ox tại một điểm A. Điểm A chia đường thẳng $\Delta $ thành hai tia, trong đó, gọi Az là tia nằm phía trên trục hoành. Kí hiệu $\alpha _{\Delta }$ là số đo của góc $\widehat{xAz}$. Thực hành luyện tập sau đây, ta thấy ý nghĩa hình học của hệ số góc.

Luyện tập 4: Cho đường thẳng $\Delta$: y = ax + b, với a $\neq $ 0.

a. Chứng minh rằng $\Delta$ cắt trục hoành.

b. Lập phương trình đường thẳng $\Delta_{0}$ đi qua O(0; 0) và song song (hoặc trùng) với $\Delta$.

c. Hãy chỉ ra mối quan hệ giữa $\alpha _{\Delta }$ và $\alpha _{\Delta_{0} }$.

d. Gọi M là giao điểm của $\Delta_{0}$ với nửa đường tròn đơn vị và x₀ là hoành độ của M. Tính tung độ M theo  x₀ và a. Từ đó, chứng minh rằng tan$\alpha _{\Delta }$=a.

Hướng dẫn giải:

a. $\Delta$ có vecto pháp tuyển: $\overrightarrow{n}(a; -1)$

Trục hoành Ox có vecto pháp tuyến: $\overrightarrow{n_{2}}(0; 1)$ 

Do $\overrightarrow{n}(a; -1)$ và $\overrightarrow{n_{2}}(0; 1)$ không cùng phương nên $\Delta$ cắt trục hoành.

b. Đường thẳng $\Delta_{0}$ song song với $\Delta$ nên $\Delta_{0}$  có dạng: y = ax + m, với m là số thực.

Do $\Delta_{0}$  đi qua O(0; 0) nên m = 0.

$\Rightarrow$ phương trình đường thẳng $\Delta_{0}$: y = ax.

c. Do đường thẳng $\Delta_{0}$ song song với $\Delta$ nên $\alpha _{\Delta }$ = $\alpha _{\Delta_{0} }$. (hai góc ở vị trí đồng vị).

d. Gọi tọa độ điểm M(x₀ ; y₀).

Do M thuộc $\Delta_{0}$ nên y₀ = a.x₀ 

Có tan$\alpha _{\Delta }$= tan $\alpha _{\Delta_{0} }$ = tan$\widehat{MOx}$ = $\frac{y_{0}}{x_{0}}$ = a.

Vậy tan$\alpha _{\Delta }$=a.

3. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG

Hoạt động 4: Cho điểm M(x₀; y₀) và đường thẳng $\Delta$: ax + by + c = 0 có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n}(a; b)$. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên $\Delta$

a. Chứng minh rằng: $\left | \overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM} \right |=\sqrt{a^{2}+b^{2}}.HM$

b. Giả sử H có tọa độ (x₁; y₁). Chứng minh rằng: $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM} =a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})=ax_{0}+by_{0}+c$

c. Chứng minh rằng HM = $\frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

Hướng dẫn giải:

a. Do $\overrightarrow{n}$ và $\overrightarrow{HM} $ có cùng phương nên $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM}$ = $|\overrightarrow{n}|.|\overrightarrow{HM}|.cos0^{o}=|\overrightarrow{n}|.|\overrightarrow{HM}|$

Hoặc: $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM}$ = $|\overrightarrow{n}|.|\overrightarrow{HM}|.cos180^{o}=-|\overrightarrow{n}|.|\overrightarrow{HM}|$

Suy ra: $\left | \overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM} \right | = |\overrightarrow{n}|.|\overrightarrow{HM}|$ = $\sqrt{a^{2}+b^{2}}.HM$

b. $\overrightarrow{HM}(x_{0}-x_{1}; y_{0}-y_{1}) $

Ta có: $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM} =a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})= a.x_{0} + b.y_{0} - a.x_{1}-b.y_{1}$

Mà H có tọa độ (x₁; y₁) thuộc đường thẳng  $\Delta$, nên thay tọa độ điểm H vào có: $-a.x_{1}-b.y_{1}=c$

Vậy $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM} =a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})=ax_{0}+by_{0}+c$

c. Theo a và b ta có: 

$\left | \overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM} \right |=  \sqrt{a^{2}+b^{2}}.HM = |x_{0}+by_{0}+c|$

Suy ra: HM = $\frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

Trải nghiệm: Đo trực tiếp khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng $\Delta$ và giải thích vì sao kết quả đo đạc phù hợp với kết quả tính toán trong lời giải của Ví dụ 4.

Hướng dẫn giải:

• Đo trực tiếp có: khoảng cách từ M đến đường thẳng $\Delta$ là độ dài đoan MH bằng 2 đơn vị độ dài.
• Kết quả đo đạc phù hợp với kết quả tính toán trong lời giải của Ví dụ 4, vì đây điểm M có tọa độ trùng với điểm M của ví dụ 4 và đường thẳng $\Delta$ có phương trình trùng với phương trình trong ví dụ 4.

Luyện tập 5: Tính khoảng cách từ điểm M(1; 2) đến đường thẳng $\Delta :\left\{\begin{matrix}x=5+3t\\y=-5-4t\end{matrix}\right.$

Hướng dẫn giải:

• Đường thẳng $\Delta$ qua điểm A(5; -5) và có vecto pháp tuyến là: $\overrightarrow{n}(4; 3)$

Phương trình tham số của $\Delta$ là: 4(x -5) + 3(y +5) = 0 Hay 4x + 3y -5 =0.

• Áp dụng công thức khoảng cách từ M đến $\Delta$ là: $d(M;\Delta )=\frac{|4.1+3.2-5|}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}=1$

Vậy khoảng cách từ M đến $\Delta$ là 1.

Vận dụng: Nhân dịp nghỉ hè, Nam về quê ở với ông bà nội. Nhà ông bà nội có một ao cá có dạng hình chữ nhật ABCD với chiều dài AD = 15m, chiều rộng AB = 12 m. Phần tam giác DEF là nơi ông bà nuôi vịt, AE = 5m, CF = 6m.

a. Chọn hệ trục tọa độ Oxy, có điểm O trùng với điểm B, các tia Ox, Oy tương ứng trùng với các tia BC, BA. Chọn 1 đơn vị độ dài trên mặt phẳng tọa độ tương ứng với 1m thực tế. Hãy xác định tọa độ của các điểm A, B, C, D, E, F và viết phương trình đường thẳng EF.

b. Nam đứng ở vị trí B câu cá và có thể quăng lưỡi câu xa 10,7 m. Hỏi lưỡi câu có thể rơi vào nơi nuôi vịt hay không?

Hướng dẫn giải:

a.

• Tọa độ các điểm: A(0; 12), B(0; 0), C(15; 0), D(15; 12), E(5; 12), F(15; 6)
• Đường thẳng EF có vecto chỉ phương $\overrightarrow{EF}(10; -6)$

Chọn vecto pháp tuyến là: $\overrightarrow{n}(3; 5)$

Phương trình tổng quát của đường thẳng EF là: 3(x - 5) + 5(y - 12) = 0 Hay 3x + 5y - 75 = 0.

b. Để lưỡi câu có thể rơi vào nơi nuôi vịt thì 10,7 phải lớn hơn khoảng cách từ B đến đường thẳng EF.

Áp dụng công thức khoảng cách từ B đến EF là: $d(B; EF )=\frac{|3.0+5.0-75|}{\sqrt{3^{2}+5^{2}}}\approx 12,9$ >10,7

Vậy lưỡi câu không thể rơi vào nơi nuôi vịt.