CHƯƠNG VIII. ĐẠI SỐ TỔ HỢP
BÀI 25. NHỊ THỨC NEWTON
HĐ1:
Tổng các tích nhận được: a.c + a.d + b.c + c.d
Khai triển của tích (a+b).(c+d) = a.c + a.d + b.c + c.d
Vậy tổng của các tích nhận được bằng với khai triển của tích (a+b).(c+d).
HĐ2:
1 đơn thức bằng a$^{3}$,
3 đơn thức bằng a$^{2}$b,
3 đơn thức bằng ab$^{2}$,
1 đơn thức bằng b$^{3}$
Các hệ số nhận được 1, 3, 3, 1 trùng với các hệ số tương ứng của a$^{3}$, a$^{2}$b, ab$^{2}$, b$^{3}$.
Nhận xét:
Các tích nhận được từ sơ đồ hình cây của tích các đa thức giống như cách lấy ra một đơn thức từ mỗi đa thức rồi nhân lại với nhau. Hơn nữa, tổng của chúng cho ta khai triển của tích các đa thức đã cho.
HĐ3:
Để có đơn thức a$^{4}$ thì phải có 0 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng là: C$_{4}^{0}$ =1, hay có 1 đơn thức a$^{4}$.
Để có đơn thức a$^{3}$b thì phải có 3 nhân tử a, 1 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng là: C$_{4}^{1}$ =4.
Để có đơn thức a$^{2}$b$^{2}$ thì có 2 nhân tử a, 2 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng là: C$_{4}^{2}$ = 6
Để có đơn thức a$^{b}$n thì có 1 nhân tử a, 3 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng là: C$_{4}^{3}$ = 4.
Để có đơn thức b$^{4}$ thì phải có 4 nhân tử b và không có nhân tử a, khi đó số đơn thức đồng dạng là: C$_{4}^{4}$ =1, hay có 1 đơn thức b$^{4}$
Kết luận:
(a+b)$^{4}$=C$_{4}^{0}$a$^{4}$+C$_{4}^{1}$a$^{3}$b+C$_{4}^{2}$a$^{2}$b$^{2}$+C$_{4}^{3}$ab$^{3}$+C$_{4}^{4}$b$^{4}$
=a$^{4}$+4a$^{3}$b+6a$^{2}$b$^{2}$+4ab$^{3}$+b$^{4}$
Ví dụ 1 (SGK -tr73)
Luyện tập 1:
x$^{4}$+4x$^{3}$(-2)+6x$^{2}$(-2)$^{2}$+4x(-2)$^{3}$+(-2)$^{4}$=x$^{4}$-8x$^{3}$+24x$^{2}$-32x+16
HĐ4:
- Để có đơn thức a$^{5}$ thì phải có 5 nhân tử a và 0 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng là: C$_{5}^{0}$ =1, hay có 1 đơn thức a$^{5}$.
- Để có đơn thức a$^{4}$b thì phải có 4 nhân tử a, 1 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng là: C$_{5}^{1}$ = 5.
- Để có đơn thức a$^{3}$b$^{2}$ thì phải có 3 nhân tử a, 2 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng là: C$_{5}^{2}$ = 10.
- Để có đơn thức a$^{2}$b$^{3}$ thì phải có 2 nhân tử a, 3 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng là: C$_{5}^{3}$ = 10.
- Để có đơn thức ab$^{4}$ thì phải có 1 nhân tử a, 4 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng là: C$_{5}^{4}$ = 5.
- Để có đơn thức b$^{5}$ thì phải có 5 nhân tử b và 0 nhân tử a, khi đó số đơn thức đồng dạng là: C$_{5}^{5}$ = 1.
Kết luận:
(a+b)$^{5}$=C$_{5}^{0}$a$^{5}$+C$_{5}^{1}$a$^{4}$b+C$_{5}^{2}$a$^{3}$b$^{2}$+C$_{5}^{3}$ab$^{4}$+C$_{5}^{5}$b$^{5}$
=a$^{5}$+5a$^{4}$b+10a$^{3}$b$^{2}$+10a$^{2}$b$^{3}$+5ab$^{4}$+b$^{5}$
Ví dụ 2 (SGK -tr73)
Luyện tập 2:
(3x - 2)$^{5}$ = (3x)$^{5}$ + 5(3x)$^{4}$.(-2) + 10.(3x)$^{3}$.(-2)$^{2}$ + 10.(3x)$^{2}$.(-2)$^{3}$ + 5(3x).(-2)$^{4}$ + (-2)$^{5}$
= 243x$^{5}$ - 810x$^{4}$ + 1080x$^{3}$ - 720x$^{2}$ + 240x -32.
Vận dụng:
a. Khai triển:
(1 + 0,05)$^{4}$ = 1$^{4}$ + 4.1$^{3}$.0,05 + 6.1$^{2}$.0,05$^{2}$ + 4.1.0,05$^{3}$ + 0,05$^{4}$.
1,05$^{4}$= 1$^{4}$ + 4.1$^{3}$.0,05 = 1,2
b. 1,05$^{4}$ = 1,21550625
Sai số tuyệt đối là:
|1,21550625 – 1,2| = 0,01550625.