Bài tập 4.38. Cho ba vecto $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{u}$ với $|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=1$ và $\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}$. Xét một hệ trục Oxy với các vecto đơn vị $\overrightarrow{i}= \overrightarrow{a}, \overrightarrow{j}=\overrightarrow{b}$. Chứng minh rằng:
a. Vecto $\overrightarrow{u}$ có tọa độ là $(\overrightarrow{u}. \overrightarrow{a}; \overrightarrow{u}.\overrightarrow{b})$.
b. $\overrightarrow{u} = (\overrightarrow{u}.\overrightarrow{a})\overrightarrow{a} + (\overrightarrow{u}.\overrightarrow{b})\overrightarrow{b}$
Bài Làm:
a.
Dựng hệ trục tọa độ Oxy với các vecto đơn vị $\overrightarrow{i}= \overrightarrow{a}, \overrightarrow{j}=\overrightarrow{b}$ như hình vẽ.
Gọi $\overrightarrow{u}$ = $\overrightarrow{OM}$ => $\overrightarrow{u}$ có tọa độ bằng tọa độ vecto $\overrightarrow{OM}$, hay $\overrightarrow{u}(x_{M}; y_{M})$
Ta có: $\overrightarrow{u}. \overrightarrow{a}= |\overrightarrow{u}|. |\overrightarrow{a}|.cos(xOM) = OM.1. cos(xOM) = x_{M}$
$\overrightarrow{u}. \overrightarrow{b}= |\overrightarrow{u}|. |\overrightarrow{b}|.cos(yOM) = OM.1. cos(yOM) = y_{M}$
Suy ra: Vecto $\overrightarrow{u}$ có tọa độ là $(\overrightarrow{u}. \overrightarrow{a}; \overrightarrow{u}.\overrightarrow{b})$.
b. Theo a ta có: $\overrightarrow{u}. \overrightarrow{a} =x_{M}$ và $\overrightarrow{u}. \overrightarrow{b} = y_{M}$
=> $(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{a})\overrightarrow{a} + (\overrightarrow{u}.\overrightarrow{b})\overrightarrow{b}= x_{M}.\overrightarrow{a} +y_{M}.\overrightarrow{b}$
Mà $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ là hai vecto đơn vị của hệ trục nên ta có: $\overrightarrow{u} = x_{M}.\overrightarrow{a} +y_{M}.\overrightarrow{b}$
Vậy $\overrightarrow{u} = (\overrightarrow{u}.\overrightarrow{a})\overrightarrow{a} + (\overrightarrow{u}.\overrightarrow{b})\overrightarrow{b}$