CHƯƠNG IV: VECTƠ
BÀI 11. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
1. GÓC GIỮA HAI VECTƠ
HĐ1:
+ Số đo góc giữa hai vectơ $\underset{BC}{\rightarrow}$ và $\underset{BD}{\rightarrow}$ là số đo góc CBD và bằng 30$^{\circ}$.
+ Số đo góc giữa hai vectơ $\underset{DA}{\rightarrow}$ và $\underset{DB}{\rightarrow}$ là số đo góc ADB và bằng 50$^{\circ}$.
Kết luận:
Cho hai vectơ $\underset{u}{\rightarrow}$ và $\underset{v}{\rightarrow}$ khác 0. Từ một điểm A tùy ý, vẽ các vectơ $\underset{AB}{\rightarrow}$=$\underset{u}{\rightarrow}$ và $\underset{AC}{\rightarrow}$=$\underset{v}{\rightarrow}$. Khi đó, số đo của góc BAC được gọi là số đo góc giữa hai vectơ $\underset{u}{\rightarrow}$ và $\underset{v}{\rightarrow}$ hay đơn giản là góc giữa hai vectơ $\underset{u}{\rightarrow}$ , $\underset{v}{\rightarrow}$, kí hiệu là ($\underset{u}{\rightarrow}$ , $\underset{v}{\rightarrow}$).
Chú ý:
+ Quy ước rằng góc giữa hai vectơ $\underset{u}{\rightarrow}$ và $\underset{v}{\rightarrow}$ có thể nhận một giá trị tùy ý từ 0$^{\circ}$ đến 180$^{\circ}$.
+ Nếu ($\underset{u}{\rightarrow}$ , $\underset{v}{\rightarrow}$)= 90$^{\circ}$ thì ta nói rằng $\underset{u}{\rightarrow}$ và $\underset{v}{\rightarrow}$ vuông góc với nhau, kí hiệu là $\underset{u}{\rightarrow} \perp \underset{v}{\rightarrow}$ hoặc $\underset{v}{\rightarrow} \perp \underset{u}{\rightarrow}$.
Đặc biệt, $\underset{0}{\rightarrow}$ được coi là vuông góc với mọi vectơ.
Câu hỏi:
Góc giữa hai vectơ bằng 0$^{\circ}$ khi hai vectơ cùng hướng.
Góc giữa hai vectơ bằng 180$^{\circ}$ khi hai vectơ ngược hướng.
Ví dụ 1 (SGK -tr66)
Luyện tập 1:
Vẽ $\underset{AD}{\rightarrow}$=$\underset{BC}{\rightarrow}$, khi đó ADBC là hình bình hành
($\underset{AB}{\rightarrow}$,$\underset{BC}{\rightarrow}$)=($\underset{AB}{\rightarrow}$,$\underset{AD}{\rightarrow}$)=$\widehat{BAD}$
Do AD//BC nên ta có:
$\widehat{BAD}$=180$^{\circ}$-$\widehat{ABD}$=180$^{\circ}$-60$^{\circ}$=120$^{\circ}$
Vậy ($\underset{AB}{\rightarrow}$,$\underset{BC}{\rightarrow}$)=120$^{\circ}$
2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
Tích vô hướng của hai vectơ khác vectơ-không $\underset{u}{\rightarrow}$ và $\underset{v}{\rightarrow}$ là một số, kí hiệu là $\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{v}{\rightarrow}$ được xác định bởi công thức sau:
$\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{v}{\rightarrow}$=|$\underset{u}{\rightarrow}$|.|$\underset{v}{\rightarrow}$|.cos($\underset{u}{\rightarrow}$,$\underset{v}{\rightarrow}$).
Câu hỏi:
+ Tích vô hướng của hai vectơ khác vectơ-không $\underset{u}{\rightarrow}$,$\underset{v}{\rightarrow}$ là một số dương khi góc giữa hai vectơ $\underset{u}{\rightarrow}$,$\underset{v}{\rightarrow}$ là góc lớn hơn 0$^{\circ}$ và nhỏ hơn 90$^{\circ}$.
+ Tích vô hướng của hai vectơ khác vectơ-không $\underset{u}{\rightarrow}$,$\underset{v}{\rightarrow}$ là một số âm khi góc giữa hai vectơ $\underset{u}{\rightarrow}$,$\underset{v}{\rightarrow}$ là góc lớn hơn 90$^{\circ}$ và nhỏ hơn 180$^{\circ}$.
Chú ý:
+) $\underset{u}{\rightarrow} \perp \underset{v}{\rightarrow}$ <=> $\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{v}{\rightarrow}$=0
+) $\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{u}{\rightarrow}$ còn được viết là $\underset{u}{\rightarrow} ^{2}$ và được gọi là bình phương vô hướng của vectơ $\underset{u}{\rightarrow}$. Ta có $\underset{u}{\rightarrow} ^{2}$=$\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{u}{\rightarrow}$.cos 0$^{\circ}$ =$\underset{u}{\rightarrow} ^{2}$.
Câu hỏi:
($\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{v}{\rightarrow}$)$^{2}$=(|$\underset{u}{\rightarrow}$|.|$\underset{v}{\rightarrow}$|.cos ( $\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{v}{\rightarrow}$))$^{2}$=$\underset{u}{\rightarrow} ^{2}$.$\underset{v}{\rightarrow} ^{2}$.( $\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{v}{\rightarrow}$)
Nên ($\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{v}{\rightarrow}$)$^{2}$=$\underset{u}{\rightarrow} ^{2}$.$\underset{v}{\rightarrow} ^{2}$. thì cos ( $\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{v}{\rightarrow}$)=0, hay là $\underset{u}{\rightarrow}$,$\underset{v}{\rightarrow}$ cùng phương.
Ví dụ 2 (SGK-tr67)
Luyện tập 2:
Theo định lí cô sin, ta có:
cos A =$\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$
Từ đó:
$\underset{AB}{\rightarrow}$.$\underset{AC}{\rightarrow}$=|$\underset{AB}{\rightarrow}$|.|$\underset{AC}{\rightarrow}$|.cos ( $\underset{AB}{\rightarrow}$,$\underset{AC}{\rightarrow}$)
=c.b.cos A =bc.$\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$=b$\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$.
3. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG
HĐ2:
a) $\underset{u}{\rightarrow}$ = $\underset{0}{\rightarrow}$ nên $\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{v}{\rightarrow}$=0
$\underset{u}{\rightarrow}$ = $\underset{0}{\rightarrow}$ ⇒ {x=0 y=0
Lại có: k(x$^{2}$+y$^{2}$)=k(0$^{2}$+0$^{2}$)=0
Vậy $\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{v}{\rightarrow}$=k(x$^{2}$+y$^{2}$).
b) Vì k≥0 nên hai vectơ $\underset{u}{\rightarrow}$, $\underset{v}{\rightarrow}$ cùng hướng.
⇒($\underset{u}{\rightarrow}$,$\underset{v}{\rightarrow}$)=0$^{\circ}$
Ta có:
$\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{v}{\rightarrow}$=|$\underset{u}{\rightarrow}$|.|$\underset{v}{\rightarrow}$|.cos ($\underset{u}{\rightarrow}$,$\underset{v}{\rightarrow}$)
=$\sqrt{x^{2}+y^{2}}$.$\sqrt{(kx)^{2}+(ky)^{2}}$.cos 0$^{\circ}$
=|k|(x$^{2}$+y$^{2}$)=k(x$^{2}$+y$^{2}$).
Vậy $\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{v}{\rightarrow}$=k(x$^{2}$+y$^{2}$).
c) Vì k<0 nên hai vectơ $\underset{u}{\rightarrow}$, v ngược hướng.
⇒($\underset{u}{\rightarrow}$,v)=180$^{\circ}$
Ta có:
$\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{v}{\rightarrow}$=|$\underset{u}{\rightarrow}$|.|$\underset{v}{\rightarrow}$|.cos ($\underset{u}{\rightarrow}$,v)
=$\sqrt{x^{2}+y^{2}}$.$\sqrt{(kx)^{2}+(ky)^{2}}$.cos 180$^{\circ}$
=|k|(x$^{2}$+y$^{2}$)(-1)=k(x$^{2}$+y$^{2}$).
Vậy $\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{v}{\rightarrow}$=k(x$^{2}$+y$^{2}$).
HĐ3:
a) Tọa độ các điểm là A(x; y) và B(x'; y')
b)
AB$^{2}$=(x'-x)$^{2}$+(y'-y)$^{2}$
OA$^{2}$=x$^{2}$+y$^{2}$
OB$^{2}$=x'$^{2}$+y'$^{2}$
c) Ta có:
$\underset{OA}{\rightarrow}$.$\underset{OB}{\rightarrow}$=$\frac{OA^{2}+OB^{2}-AB^{2}}{2}$=xx'+yy'
Kết luận:
Tích vô hướng của hai vectơ $\underset{u}{\rightarrow}$=(x;y) và $\underset{v}{\rightarrow}$=x';y' được tính theo công thức:
$\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{v}{\rightarrow}$= xx'+yy'
Nhận xét:
+ Hai vectơ $\underset{u}{\rightarrow}$ và $\underset{v}{\rightarrow}$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi xx'+yy'=0.
+ Bình phương vô hướng của $\underset{u}{\rightarrow}$=(x;y) là $\underset{u}{\rightarrow}^{2}$=x$^{2}$+y$^{2}$.
+ Nếu $\underset{u}{\rightarrow}$≠0 và $\underset{v}{\rightarrow}$≠0 thì
cos ($\underset{u}{\rightarrow}$,$\underset{v}{\rightarrow}$)=$\frac{\underset{u}{\rightarrow}.\underset{v}{\rightarrow}}{|\underset{u}{\rightarrow}|.|\underset{v}{\rightarrow}|}$=$\frac{xx'+yy'}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}.\sqrt{x'^{2}+y'^{2}}}$
Ví dụ 3 (SGK -tr68)
Luyện tập 3:
$\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{v}{\rightarrow}$=0.$\sqrt{3}$+(-5).1=-5
cos ($\underset{u}{\rightarrow}$,$\underset{v}{\rightarrow}$)=$\frac{0.\sqrt{3}+(-5).1}{\sqrt{0+5^{2}}.\sqrt{3+1}}$=-$\frac{1}{2}$
⇒($\underset{u}{\rightarrow}$,$\underset{v}{\rightarrow}$)=120$^{\circ}$.
HĐ4:
a)
($\underset{v}{\rightarrow}$+$\underset{w}{\rightarrow}$) = (x$_{2}$+x$_{3}$;y$_{2}$+y$_{3}$)
$\underset{u}{\rightarrow}$.($\underset{v}{\rightarrow}$+$\underset{w}{\rightarrow}$) = x$_{1}$.(x$_{2}$+x$_{3}$)+y$_{1}$.(y$_{2}$+y$_{3}$).
$\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{v}{\rightarrow}$+$\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{w}{\rightarrow}$ = x$_{1}$.x$_{2}$+y$_{1}$.y$_{2}$+x$_{1}$.x$_{3}$+y$_{1}$.y$_{3}$= x$_{1}$.(x$_{2}$+x$_{3}$)+y$_{1}$.(y$_{2}$+y$_{3}$).
b.$\underset{u}{\rightarrow}$.($\underset{v}{\rightarrow}$+$\underset{w}{\rightarrow}$) =$\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{v}{\rightarrow}$+$\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{w}{\rightarrow}$.
c. $\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{v}{\rightarrow}$=x$_{1}$.x$_{2}$+y$_{1}$.y$_{2}$
$\underset{v}{\rightarrow}$.$\underset{u}{\rightarrow}$=x$_{2}$.x$_{1}$+y$_{2}$.y$_{1}$.
Suy ra: $\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{v}{\rightarrow}$ = $\underset{v}{\rightarrow}$.$\underset{u}{\rightarrow}$
Tính chất của tích vô hướng:
Với ba vectơ $\underset{u}{\rightarrow}$,$\underset{v}{\rightarrow}$,$\underset{w}{\rightarrow}$ bất kì và mọi số thực k, ta có:
-
$\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{v}{\rightarrow}$=$\underset{v}{\rightarrow}$.$\underset{u}{\rightarrow}$ (tính chất giao hoán)
-
$\underset{u}{\rightarrow}$.($\underset{v}{\rightarrow}$+$\underset{w}{\rightarrow}$)=$\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{v}{\rightarrow}$+$\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{w}{\rightarrow}$ (tính chất phân phối đối với phép cộng)
-
(k$\underset{u}{\rightarrow}$).$\underset{v}{\rightarrow}$=k($\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{v}{\rightarrow}$)=$\underset{u}{\rightarrow}$.(k$\underset{v}{\rightarrow}$)
Chú ý: Từ các tính chất trên, ta có thể chứng minh được
$\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{v}{\rightarrow}$-$\underset{w}{\rightarrow}$=$\underset{u}{\rightarrow}$.v-$\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{w}{\rightarrow}$
($\underset{u}{\rightarrow}$+$\underset{v}{\rightarrow}$)$^{2}$=$\underset{u}{\rightarrow}^{2}$+2$\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{v}{\rightarrow}$+$\underset{v}{\rightarrow}^{2}$
($\underset{u}{\rightarrow}$-$\underset{v}{\rightarrow}$)$^{2}$=$\underset{u}{\rightarrow}^{2}$-2$\underset{u}{\rightarrow}$.$\underset{v}{\rightarrow}$+$\underset{v}{\rightarrow}^{2}$;
($\underset{u}{\rightarrow}$+$\underset{v}{\rightarrow}$).($\underset{u}{\rightarrow}$-$\underset{v}{\rightarrow}$)=$\underset{u}{\rightarrow}^{2}$-$\underset{v}{\rightarrow}^{2}$
Ví dụ 4 (SGK-tr69)
Luyện tập 4:
a) Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên
AH⊥BC,BH⊥CA
Suy ra: $\underset{AB}{\rightarrow}$.$\underset{BC}{\rightarrow}$=0,$\underset{BH}{\rightarrow}$.$\underset{CA}{\rightarrow}$=0
b) Gọi tọa độ điểm H(x; y)
$\underset{AH}{\rightarrow}$(x+1;y-2)
$\underset{BC
$\underset{CA}{\rightarrow}$(-9;-6)
Ta có: AH⊥BC,BH⊥CA nên:
{(x+1).0+(y-2).9=0 (x-8).(-9)+(y+1).(-6)=0
{x=6 y=2
Vậy H(6; 2)
c) $\underset{AB}{\rightarrow}$(9;-3);$\underset{BC}{\rightarrow}$(0;9);$\underset{CA}{\rightarrow}$(-9;-6)
AB=$\sqrt{9^{2}+3^{2}}$=3$\sqrt{10}$
AC=$\sqrt{9^{2}+6^{2}}$=3$\sqrt{13}$
BC=$\sqrt{0^{2}+9^{2}}$=9
Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC:
cosA=$\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2.OA.OB}$≈0,61
$\widehat{A}$≈52$^{\circ}$
Tương tự áp dụng định lí cô sin ta có:
cos B ≈0,32⇒$\widehat{B}$=71,6$^{\circ}$
$\widehat{C}$≈56,4$^{\circ}$
Vận dụng:
a) Công sinh bởi lực$\underset{F_{1}}{\rightarrow}$ bằng:$\underset{F_{1}}{\rightarrow}$.$\underset{AB}{\rightarrow}$ (1)
Công sinh bởi lực $\underset{F_{2}}{\rightarrow}$ bằng $\underset{F_{2}}{\rightarrow}$.$\underset{AB}{\rightarrow}$ (2)
Công sinh bởi lực $\underset{F}{\rightarrow}$ bằng:
$\underset{F}{\rightarrow}$.$\underset{AB}{\rightarrow}$=($\underset{F_{1}}{\rightarrow}$+$\underset{F_{2}}{\rightarrow}$.).$\underset{AB}{\rightarrow}$ (3)
Từ (1), (2), (3) và theo tính chất phân phối đối với phép cộng của tích vô hướng suy ra công sinh bởi lực $\underset{F}{\rightarrow}$ bằng tổng của các công sinh bởi lực $\underset{F_{1}}{\rightarrow}$ và $\underset{F_{2}}{\rightarrow}$..
b) Vì $\underset{F_{2}}{\rightarrow}$. có phương vuông góc với phương chuyển động nên công sinh bởi lực $\underset{F_{2}}{\rightarrow}$. bằng $\underset{F_{2}}{\rightarrow}$..$\underset{AB}{\rightarrow}$=0. Từ đó và kết quả phần a), suy ra công sinh bởi lực $\underset{F}{\rightarrow}$ bằng:
$\underset{F_{1}}{\rightarrow}$.$\underset{AB}{\rightarrow}$+$\underset{F_{2}}{\rightarrow}$.$\underset{AB}{\rightarrow}$=$\underset{F_{1}}{\rightarrow}$.$\underset{AB}{\rightarrow}$
Do đó công sinh bởi lực $\underset{F}{\rightarrow}$ bằng công sinh bởi lực $\underset{F_{1}}{\rightarrow}$