CHƯƠNG IV: VECTƠ
BÀI 9. TÍCH CỦA MỘT SỐ VECTƠ VỚI MỘT SỐ
1. TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ
HĐ1:
a) Theo quy tắc ba điểm,
$\underset{a}{\rightarrow}$+$\underset{a}{\rightarrow}$=$\underset{AB}{\rightarrow}$+$\underset{BC}{\rightarrow}$=$\underset{AC}{\rightarrow}$
Do đó hai vectơ $\underset{a}{\rightarrow}$+$\underset{a}{\rightarrow}$ và $\underset{AC}{\rightarrow}$ bằng nhau.
Vectơ $\underset{a}{\rightarrow}$+$\underset{a}{\rightarrow}$ cùng hướng với vectơ $\underset{AB}{\rightarrow}$, có độ dài gấp hai lần độ dài của vectơ $\underset{AB}{\rightarrow}$.
b) Vì $\underset{AB}{\rightarrow}$=$\underset{a}{\rightarrow}$ và $\underset{BC}{\rightarrow}$=$\underset{a}{\rightarrow}$ nên B là trung điểm của AC. Do đó vectơ $\underset{a}{\rightarrow}$+$\underset{a}{\rightarrow}$=$\underset{AC}{\rightarrow}$ cùng hướng với vectơ $\underset{a}{\rightarrow}$=$\underset{AB}{\rightarrow}$ và độ dài của $\underset{a}{\rightarrow}$+$\underset{a}{\rightarrow}$ gấp đôi độ dài của $\underset{a}{\rightarrow}$.
Định nghĩa:
Tích của một vectơ $\underset{a}{\rightarrow} \neq \underset{0}{\rightarrow}$ với một số thực k>0 là một vectơ, kí hiệu là k$\underset{a}{\rightarrow}$, cùng hướng với vectơ $\underset{a}{\rightarrow}$ và có độ dài bằng k|$\underset{a}{\rightarrow}$|.
Câu hỏi:
1$\underset{a}{\rightarrow}$=$\underset{a}{\rightarrow}$
HĐ2:
+) $\underset{OM}{\rightarrow}$ và $\underset{a}{\rightarrow}$ cùng hướng, $\underset{ON}{\rightarrow}$ và $\underset{a}{\rightarrow}$ ngược hướng.
+) |$\underset{OM}{\rightarrow}$|=$\sqrt{2}$|$\underset{a}{\rightarrow}$|
|$\underset{ON}{\rightarrow}$|=$\sqrt{2}$|$\underset{a}{\rightarrow}$|
+ $\underset{OM}{\rightarrow}$=$\sqrt{2}$.$\underset{a}{\rightarrow}$
Định nghĩa:
Tích của một vectơ $\underset{a}{\rightarrow} \neq \underset{0}{\rightarrow}$ với một số thực k<0 là một vectơ, kí hiệu là k$\underset{a}{\rightarrow}$, ngược hướng với vectơ $\underset{a}{\rightarrow}$ và có độ dài bằng (-k)|$\underset{a}{\rightarrow}$|.
Chú ý:
Ta quy ước k$\underset{a}{\rightarrow}$=$\underset{0}{\rightarrow}$ nếu $\underset{a}{\rightarrow}$=$\underset{0}{\rightarrow}$ hoặc k = 0.
Nhận xét:
Vectơ ka có độ dài bằng |k||$\underset{a}{\rightarrow}$| và cùng hướng với $\underset{a}{\rightarrow}$ nếu k≥0, ngược hướng với $\underset{a}{\rightarrow}$ nếu $\underset{a}{\rightarrow} \neq \underset{0}{\rightarrow}$ và k<0.
Câu hỏi:
-$\underset{a}{\rightarrow}$=(-1)$\underset{a}{\rightarrow}$
Ví dụ 1 (SGK -tr 56)
Chú ý:
Hai vectơ $\underset{a}{\rightarrow}$ và $\underset{b}{\rightarrow}$ ($\underset{b}{\rightarrow} \neq \underset{0}{\rightarrow}$) cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số k để $\underset{a}{\rightarrow}$=k$\underset{b}{\rightarrow}$.
Luyện tập 1:
Khẳng định đúng: a, c.
Khẳng định sai: b.
2. CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP NHÂN VECTƠ VỚI MỘT SỐ
HĐ3:
Mệnh đề đúng: a, b, c, d.
HĐ4:
3($\underset{u}{\rightarrow}$+$\underset{v}{\rightarrow}$)=3$\underset{OM}{\rightarrow}$, 3$\underset{u}{\rightarrow}$+3$\underset{v}{\rightarrow}$=$\underset{OC}{\rightarrow}$.
Do hai vectơ $\underset{OC}{\rightarrow}$,$\underset{OM}{\rightarrow}$ cùng hướng và $\underset{OC}{\rightarrow}$ = 3$\underset{OM}{\rightarrow}$ nên $\underset{OC}{\rightarrow}$=3$\underset{OM}{\rightarrow}$.
Do đó 3($\underset{u}{\rightarrow}$+$\underset{v}{\rightarrow}$) = 3$\underset{u}{\rightarrow}$ + 3$\underset{v}{\rightarrow}$
Tính chất:
Với hai vectơ $\underset{a}{\rightarrow}$,$\underset{b}{\rightarrow}$ và hai số thực k, t, ta luôn có:
-
-k(t$\underset{a}{\rightarrow}$)=(kt)$\underset{a}{\rightarrow}$;
-
(k+t)$\underset{a}{\rightarrow}$=k$\underset{a}{\rightarrow}$+t$\underset{a}{\rightarrow}$
-
k($\underset{a}{\rightarrow}$+$\underset{b}{\rightarrow}$)=k$\underset{a}{\rightarrow}$+k$\underset{b}{\rightarrow}$;
k($\underset{a}{\rightarrow}$-$\underset{b}{\rightarrow}$)=k$\underset{a}{\rightarrow}$-k$\underset{b}{\rightarrow}$
-
1$\underset{a}{\rightarrow}$=$\underset{a}{\rightarrow}$;(-1)$\underset{a}{\rightarrow}$=-$\underset{a}{\rightarrow}$
Ví dụ 2 (SGK – tr57)
Luyện tập 2:
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có:
$\underset{GA}{\rightarrow}$+$\underset{GB}{\rightarrow}$+$\underset{GC}{\rightarrow}$=$\underset{0}{\rightarrow}$
$\underset{OA}{\rightarrow}$-$\underset{OG}{\rightarrow}$+$\underset{OB}{\rightarrow}$-$\underset{OG}{\rightarrow}$+$\underset{OC}{\rightarrow}$-$\underset{OG}{\rightarrow}$=$\underset{0}{\rightarrow}$
Vậy $\underset{OA}{\rightarrow}$+$\underset{OB}{\rightarrow}$+$\underset{OC}{\rightarrow}$=3$\underset{OG}{\rightarrow}$
Nhận xét:
- Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi $\underset{IA}{\rightarrow}$+$\underset{IB}{\rightarrow}$=$\underset{0}{\rightarrow}$
- Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB, với điểm O tùy ý, ta có: $\underset{OA}{\rightarrow}$+$\underset{OB}{\rightarrow}$=2$\underset{OI}{\rightarrow}$.
- Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $\underset{GA}{\rightarrow}$+$\underset{GB}{\rightarrow}$+$\underset{GC}{\rightarrow}$=0.
- Điểm G là trọng tâm tam giác ABC, với điểm O tùy ý, ta có: $\underset{OA}{\rightarrow}$+$\underset{OB}{\rightarrow}$+$\underset{OC}{\rightarrow}$=3$\underset{OG}{\rightarrow}$
Luyện tập 3:
$\underset{u}{\rightarrow}$=$\underset{a}{\rightarrow}$+2$\underset{b}{\rightarrow}$; v=-2$\underset{a}{\rightarrow}$+3$\underset{b}{\rightarrow}$
Chú ý:
Cho hai vectơ không cùng phương $\underset{a}{\rightarrow}$ và $\underset{b}{\rightarrow}$. Khi đó, mọi vectơ $\underset{u}{\rightarrow}$ đều biểu thị (phân tích) được một cách duy nhất theo hai vectơ $\underset{a}{\rightarrow}$,$\underset{b}{\rightarrow}$, nghĩa là có duy nhất cặp số (x; y) sao cho $\underset{u}{\rightarrow}$=x$\underset{a}{\rightarrow}$+y$\underset{b}{\rightarrow}$.
Ví dụ 3 (SGK – tr58)
Nhận xét:
Ta trở lại vấn đề đã được nêu trong phần đầu bài học. Điểm khối tâm M của hệ các chất điểm A$_{1}$,A$_{2}$,…,A$_{n}$ với các khối lượng tương ứng m$_{1}$,m$_{2}$,…,m$_{n}$ được xác địinh bởi đẳng thức vectơ
$m_{1}\underset{MA_{1}}{\rightarrow}$+$m_{2}\underset{MA_{2}}{\rightarrow}$+⋯+$m_{n}\underset{MA_{n}}{\rightarrow}$=$\underset{0}{\rightarrow}$.
Vì vậy, việc xác định điểm khối tâm được quy về việc xác định điểm thoả mãn đẳng thức vectơ tương ứng.