A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Rút gọn phân số
Rút gọn một phân số là viết phân số bằng nó nhưng tử và mẫu có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn phân số đã cho.
Để rút gọn phân số $\frac{a}{b}$ (b $\neq 0$) thành phân số tối giản:
Bước 1: Tìm ƯCLN(|a| ; |b|) = d
Bước 2: Chia cả tử và mẫu cho d.
Khi rút gọn phân số, ta thường hiểu là viết phân số tối giản bằng phân số đã cho.
Ví dụ 1: Tìm phân số có giá trị bằng $\frac{198}{234}$, biết rằng tổng tử số và mẫu số của phân số đó bằng -72.
Hướng dẫn:
Ta rút gọn phân số: $\frac{198}{234}=\frac{198 : 18}{234 : 18}=\frac{11}{13}$
Gọi tử và mẫu của phân số cần tìm lần lượt là a và b. Ta có:
$\frac{a}{b} = \frac{11}{13}$ và a + b = -72
Suy ra a = 11k và b = 13k (với k thuộc Z)
Do đó a + b = 11k + 13k = 24k = -72
Suy ra k = -3 ; a = -33 ; b = -39
Vậy phân số cần tìm là $\frac{-33}{-39}$
2. Quy đồng mẫu số nhiều phân số
Để quy đồng mẫu nhiều phân số ta nên: rút gọn phân số, chuyển vế các phân số có mẫu dương, sau đó thực hiện quy tắc theo ba bước đã biết.
Bước 1: Tìm bội chung của các mẫu (thường là BCNN) để làm mẫu chung.
Bước 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu (bằng cách chia mẫu chung cho từng mẫu).
Bước 3: Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng
Ví dụ 2: Quy đồng mẫu các phân số sau:
a) $\frac{-15}{50}; \frac{9}{10}$ và $\frac{26}{-30}$
b) $\frac{7}{-10}; \frac{-5}{-15}$ và $\frac{3}{17}$
Hướng dẫn:
Đối với phân số chưa tối giản ta nên rút gọn trước rồi mới quy đồng mẫu dương.
a) $\frac{-15}{50}=\frac{-3.5}{10.5}=\frac{-3}{10}$. BCNN(10; 9; -30) = 30
$\frac{-15}{50}=\frac{-3}{10}=\frac{-3.3}{10.3}=\frac{-9}{30}$
$\frac{9}{10}=\frac{9.3}{10.3}=\frac{27}{30}$
$\frac{26}{-30}=\frac{-26}{30}$
b) $\frac{-5}{-15}=\frac{1}{3}$. BCNN(3; 10; 17) = 510
$\frac{-5}{-15}=\frac{1}{3}=\frac{170}{510}$
$\frac{-7}{10}=\frac{-7.51}{10.51}=\frac{-357}{510}$
$\frac{3}{17}=\frac{3.30}{17.30}=\frac{90}{510}$
3. So sánh phân số
Để so sánh hai phân số ta có thể làm theo những cách sau:
- Đưa hai phân số về cùng mẫu dương rồi so sánh tử. Phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn.
- Đối với hai phân số dương, đưa hai phân số về cùng tử dương rồi so sánh mẫu. Phân số nào có mẫu lớn hơn thì nhỏ hơn.
- So sánh qua số thứ ba (tính chất bắc cầu): $\frac{a}{b}<\frac{c}{d}$ và $\frac{c}{d}<\frac{c}{g}$ thì $\frac{a}{b}<\frac{c}{g}$
- Áp dụng tính chất $\frac{a}{b}<\frac{c}{d}$ (a, b, c, d thuộc Z và b, d > 0) $\Leftrightarrow $ ad < bc
Ví dụ 3: Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự tăng dần:
$\frac{3}{4}; \frac{5}{6}; \frac{-6}{7}; \frac{-8}{9}; \frac{9}{-81}$
Hướng dẫn:
Trong một dãy phân số, để sắp xếp theo thứ tự tăng dần ta nên so sánh các phân số âm với nhau, các phân số dương với nhau, phân số dương luôn lớn hơn phân số âm.
$\frac{3}{4}=\frac{9}{12};\frac{5}{6}=\frac{10}{12}$ nên $0 < \frac{3}{4} < \frac{5}{6}$
$\frac{-6}{7}=\frac{-54}{63}; \frac{-8}{9}=\frac{-56}{63};\frac{9}{-81}=\frac{-1}{9}=\frac{-7}{63}$ nên $\frac{-8}{9} < \frac{-6}{7} < \frac{9}{-81}$
Từ đó ta sắp xếp các phân số theo thứ tự tăng dần như sau:
$\frac{-8}{9}; \frac{-6}{7} ; \frac{9}{-81}; \frac{3}{4} ; \frac{5}{6}$
B. Bài tập & Lời giải
1. Rút gọn các phân số sau thành phân số có mẫu dương nhỏ nhất:
a) $\frac{25}{75}$
b) $\frac{-35}{80}$
c) $\frac{14}{-70}$
d) $\frac{-134}{-178}$
2. Tìm phân số có giá trị bằng $\frac{-36}{42}$, biết rằng hiệu giữa tử và mẫu bằng 52.
Xem lời giải
3. Quy đồng mẫu các phân số sau:
a) $\frac{8}{2^{3}.25}$ và $\frac{10}{2^{2}.5^{2}.7}$
b) $\frac{6^{2}-8}{-12 + 4^{2}}$ và $\frac{15-3^{4}}{-27 + 3^{2}}$
4. Hãy điền đầy đủ các phân số vào ô trống dựa vào quy luật ở hàng thứ nhất:
| $\frac{1}{3}$ | $\frac{-2}{-6}$ | $\frac{3}{9}$ | $\frac{-4}{-12}$ |
| $\frac{-4}{6}$ | |||
| $\frac{3}{15}$ | |||
| $\frac{-8}{20}$ |
Xem lời giải
5. So sánh các cặp phân số sau:
a) $\frac{-11}{14}$ và $\frac{5}{-11}$
b) $\frac{14}{26}$ và $\frac{25}{45}$
c) $\frac{-18}{28}$ và $\frac{58}{-78}$
6. Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự giảm dần:
$\frac{5}{4};\frac{8}{7};\frac{11}{10};\frac{-13}{15};\frac{22}{-77}$
7. Cho phân số $\frac{a}{b}$ với a, b $\in $ N*. Chứng minh rằng:
a) Nếu $\frac{a}{b}$ < 1 thì $\frac{a}{b}<\frac{a+n}{b+n}$ với n $\in $ N*
b) Nếu $\frac{a}{b}$ > 1 thì $\frac{a}{b} > \frac{a+n}{b+n}$ với n $\in $ N*