6. Trên cùng một đường thẳng đặt đoạn AB = 8cm, BC = 4cm (biết tia BA và BC là hai tia đối nhau). Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các đoạn AB, AC, BC.
a) Điểm N là trung điểm của đoạn thẳng nào? Tại sao?
b) Điểm B là trung điểm của đoạn thẳng nào? Tại sao?
c) Lấy I là trung điểm của đoạn thẳng MN thì điểm I cũng là trung điểm của đoạn thẳng nào? Tại sao?
7. Cho ba điểm M, N, O ; biết độ dài của ba đoạn thẳng đó là: MN = 5cm, NO = 4cm, MO = 3cm.
a) Điểm O có nằm giữa hai điểm M và N không? Vì sao?
b) Ba điểm M, N, O có thẳng hàng không? Vì sao?
8. Các điểm A, B, C nằm trên cùng một đường thẳng. Các điểm M và N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB và AC. Chứng tỏ rằng: BC = 2MN.
Bài toán có mấy trường hợp, chứng tỏ từng trường hợp đó.
Bài Làm:
6.
BA và BC là hai tia đối nhau nên B nằm giữa A và C
Suy ra AB + BC = AC nên AC = 8 + 4 = 12 (cm)
N là trung điểm của AC nên AN = NC = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$.12 = 6 (cm)
M là trung điểm của AB nên AM = MB = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$.8 = 4 (cm)
Do đó AM < AN nên M nằm giữa A và N (1) $\Rightarrow $ AM + MN = AN $\Rightarrow $ MN = AN - AM = 6 - 4 = 2 (cm)
Có AN < AB nên N nằm giữa A và B (2) $\Rightarrow $ AN + NB = AB $\Rightarrow $ NB = AB - AN = 8 - 6 = 2 (cm)
Suy ra NB = MN = 2 (cm)
Mà từ (1) và (2) suy ra N nằm giữa M và B
Vậy N là trung điểm của MB
b) B là trung điểm của NP vì:
- BN = NP = 2 (cm)
- B nằm giữa N và P
B là trung điểm của MC vì:
- MB = BC = 4 (cm)
- B nằm giữa M và C
c)
Lấy I là trung điểm của MN thì I cũng là trung điểm của AP vì:
- I nằm giữa A và P
- AI = IP = 6 (cm)
7.
a) Giả sử điểm O nằm giữa hai điểm M và N
Từ đó ta có MN = NO + OM = 3 + 4 = 7 (cm) (trái với đề bài MN = 5cm)
Do đó O không nằm giữa hai điểm M và N.
b) Chứng minh tương tự ta có M không nằm giữa O và N ; N không nằm giữa O và M
Vậy ba điểm M, N, O không thẳng hàng.
8. Ta xét hai trường hợp tổng quát:
- TH1: Hai điểm B và C ở cùng phía với điểm A
có 2 trường hợp sảy ra là : AB > AC và AB < AC. Không mất tính tổng quát ta lấy AB < AC
N là trung điểm của AC nên AN = NC = $\frac{1}{2}$AC
M là trung điểm của AB nên AM = MB = $\frac{1}{2}$AB
Từ (1) và (2) ta có: AN - AM = $\frac{1}{2}$AC - $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$(AC - AB) (*)
Ta có: AB < AC nên B nằm giữa A và C nên AC = AB + BC $\Rightarrow $ BC = AC - AB (3)
AB < AC nên AM < AN nên M nằm giữa A và N $\Rightarrow $ MN = AN - AM (4)
Từ (3) và (4) thay vào (*) suy ra MN = $\frac{1}{2}$BC
- TH2: Hai điểm B và C nằm khác phía với A suy ra M và N là hai trung điểm cũng nằm khác phía với A.
Không mất tính tổng quát chọn AB > AC
M là trung điểm của AB nên AM = $\frac{1}{2}$AB
N là trung điểm của AC nên AN = $\frac{1}{2}$AC
Suy ra AM + AN = $\frac{1}{2}$(AB + AC)
A nằm giữa B và C nên BC = AB + AC
A nằm giữa M và N nên MN = AM + AN = $\frac{1}{2}$AB +$\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$BC (đpcm)