Bài tập 7.55 trang 43 SBT toán 11 tập 2 Kết nối: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD.
a) Tính theo a thể tích khối chóp cụt AMN.A'B'D'
b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và A'B.
Bài Làm:
a) Ta có
$S_{A'B'D'}=\frac{a^{2}}{2}; S_{AMN}=\frac{a^{2}}{8}; S_{ABCD}=a^{2}; AA'=a$
$V=\frac{1}{3}AA'.(S_{AMN}+S_{A'B'D'}+\sqrt{S_{AMN}.S_{A'B'D'}})$
$V=\frac{1}{3}.a.\left ( \frac{a^{2}}{8}+\frac{a^{2}}{2}+\sqrt{\frac{a^{2}}{8}.\frac{a^{2}}{2}} \right )=\frac{7a^{3}}{24}$
b) Vì MN // BD
=> MN // (A’BD), do đó:
$d(MN, A'B) = d(MN, (A'BD)) = d(M, (A'BD)).$
Vi M là trung điểm của AB nên $d(M, (A'BD) = \frac{1}{2}d(A,(A′BD)).$
Đặt $h = d(A,(A'BD)) thì \frac{1}{h^{2}}=\frac{1}{AB^{2}}+\frac{1}{AD^{2}}+\frac{1}{AA'^{2}}=\frac{3}{a^{2}}$
$=> h=\frac{a\sqrt{3}}{3}$
Vậy $d(MN,A′B) = d(M,(A'BD))=\frac{a\sqrt{3}}{6}$
