Bài tập 7.54 trang 43 SBT toán 11 tập 2 Kết nối: Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có $\widehat{ BAC} = 60°, AB = 2a, AC = 3a$ và số đo của góc nhị diện [A, BC, A] bằng 45°.
a) Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A’BC).
b) Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'
Bài Làm:
a) Kẻ AH vuông góc với BC tại H, AK vuông góc với AH tại K thì $AK\perp (A′BC)$
$=> A’H\perp BC.$
Góc nhị diện [A, BC, A] bằng $\widehat{AHA'}, $
$=>\widehat{AHA'} = 45^{\circ}.$
Theo định lí côsin, áp dụng cho tam giác ABC, ta có:
$BC^{2} = AB^{2}+ AC^{2}-2.AB.AC cos\widehat{BAC }= 7a^{2},$
$=> BC = a\sqrt{7}$
Do đó
$AH=\frac{2.S_{ABC}}{BC}=\frac{AB.AC.sin\widehat{BAC}}{BC}=\frac{3\sqrt{21}}{7}a$
Vì tam giác AHA vuông cân tại A nên $AK=\frac{A'H}{2}=\frac{AH\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{42}}{14}a$
Vậy $d(A,(A'BC))=\frac{3\sqrt{42}}{14}a$
b) Thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C là
$V_{ABC.A'B'C'} = S_{ABC}.AA'$
$=\frac{1}{2}.AB.AC.sin60^{\circ}.AA'$
$=\frac{27\sqrt{7}}{14}a^{3}$
