Bài tập 7.53 trang 43 SBT toán 11 tập 2 Kết nối: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, cạnh bên $SA=\frac{a\sqrt{5}}{2}$. Gọi SM, SN lần lượt là đường cao của tam giác SAD và tam giác SBC.
a) Chứng minh rằng $(SMN)\perp (ABCD).$
b) Tính số đo của góc nhị diện [S, AD, B]
c) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.
Bài Làm:
a) Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Ta có: $AD\perp SM, AD // BC$
$=> BC\perp SM, $
mà $BC\perp SN,$
$=> BC\perp (SMN).$
$=> (SMN)\perp (ABCD).$
b) Vì MN đi qua O và $OM\perp AD, SM\perp AD $
$=> [S,AD,B] = \widehat{SMO}$, ta tính được $SM = SN = MN = a.$
Do đó tam giác SMN đều, suy ra $SMN = 60^{\circ} .$
Vậy $[S,AD,B] = 60^{\circ}.$
c) Ta có $SO=\frac{a\sqrt{3}}{2},$
$S_{ABCD}=a^{2}$
$=> V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.S_{ABCD}.SO=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{6}$
